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澳门新萄京官方网站:归并排序算法的编码和优

2019-05-25 作者:www.8455.com   |   浏览(199)

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一 低等排序算法

排序算法关切的入眼是重新排列数组成分,其中每种元素都有三个主键。排序算法是将兼具因素主键按某种形式排列(日常是依据大小大概字母逐1)。排序后索引相当的大的主键大于等于索引很小的主键。

仿照效法资料

《算法(第4版)》          — — Robert Sedgewick, Kevin Wayne

 

Q:什么是归并排序?
A:它是起家在群集操作上的一种有效的排序算法;是应用分治法的二个异常特出的施用;是1种协和的

正文首要深入分析排序算法中的选用排序、插入排序、Hill排序、归并排序、火速排序和堆排序,以及其有个别优化措施,部分代码示例。当然急速排序算法是最快的通用排序算法,那使得其在java中的地位卓绝,平时的ArrayList.sort()函数正是行使的火速排序。

习题&题解

排序算法类的沙盘

public class Example{
    public static void sort(Comparable a[]){}
    private static boolean less(Comparable a, Comparable b){
        return a.compareTo(b) < 0;
    }
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j){
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
    private static void show(Comparable[] a){
        for(int i = 0;  i < a.length; i  ){
            System.out.print(a[i]   " ");
        }
        System.out.println();
    }
    public static boolean isSort(Comparable[] a){
        for(int i = 1; i < a.length; i  ){
            if(less(a[i], a[i - 1]))
                return false;
        }
        return true;
    }
    public static void main(String[] args){
        //从标准输入读入字符串,排序后输出
        Integer[] a = new Integer[]{1,34,55,66,7};
        sort(a);
        assert isSort(a);
        show(a);
    }
}
  • 排序费用模型:商量排序算法时,供给总计比较和沟通的次数。对于不沟通来分的算法,计算走访数组的次数
  • 外加内存使用:排序算法的额外内部存款和储蓄器开销和周转时刻一模2样主要。排序算法可分两类:除了函数调用所需的栈和固定数目的实例变量之外无需附加内存的原地排序算法,以及须要额外内部存款和储蓄器空间来积累另壹份数组别本的别的排序算法。
  • 数据类型:上述排序算法模板适用于其余达成了Comparable接口的数据类型。比如,Java中封装的Integer和Double,以及String和其它许多高档数据类型(如File和U大切诺基L)都完结了Comparable接口,因而得以一贯调用那一个类其余数组作为参数调用大家相濡以沫达成的排序方法。

比方——用快排对N个随机的Double数据开始展览排序:

Doulbe[] a = new Double[N];
for(int i = 0; i < N; i  ){
    a[i] = StdRandom.uniform();
    Quick.sort(a);
}

在开创和睦的数据类型时,只要达成Comparable接口并落到实处该接口中的compareTo()方法,来定义指标项目对象的本来次序,如:

public class MyDate implements Comparable<MyDate>{
    private final int day;
    private final int month;
    private final int year;
    public MyDate(int d, int m, int y){
        day = d;
        month = m;
        year = y;
    }
    public int compareTo(MyDate that){
        if(year > that.year) return  1;
        if(year < that.year) return -1;
        if(month > that.month) return  1;
        if(month < that.month) return -1;
        if(day > that.day) return  1;
        if(day < that.day) return -1;
        return 0;
    }
}

对于 v < w、v = w 和 v > w 三种景况,Java习于旧贯是在v.compareTo(w)被调用时分别重返八个负整数、零和2个正整数(-1、0和一)。一般的话,若 v 和 w 不能够相比较恐怕两方之一是 null,v.compareTo(w) 将会抛出贰个老大。

归并排序的定义

归并排序的落到实处自个儿是那样来说述的:先对少数多少个成分通过两两合并的法子展开排序,产生三个长度稍大片段的不改变类别。然后在此基础上,对多个长度稍大学一年级部分的雷打不动类别再实行两两联合,产生二个长度更加大的有序体系,有序体系的的尺寸不断增长,直到覆盖全体数组的大大小小甘休,归并排序就做到了。

 

基本观念

要将一个数组排序,能够先(递归地)将它分为两半个别排序,然后将结果归并起来。

优点?它能担保将随机长度为 N 的数组排序所需时间和 NlogN 成正比;

缺点?所需的附加空间和 N 成正比。

在那在此之前,大家先证明八个点子:分别为十分的大小与数据沟通的秘诀。

2.2.1

1.1 选取排序

选择排序:首先找到数组中型小型小的的成分,其次,将它和数组的首先个因素交流个方式置(假若第三个要素最小就和和睦调换)。再一次,在结余成分中找到最小的因素,将它与数组的第四个因素沟通地方。如此往复,直到将总体数组排序。这种格局叫做慎选排序,因为它在不仅选取剩余成分中的最小者

less()、exch()和isSort()的兑现见排序算法类的模板

public class Selection {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        //将a[]按升序排列
        int N = a.length;
        for (int i = 0; i < N; i  ) {
            //将a[i] 和 a[i 1...N]中的最小元素交换
            int min = i;//最小元素索引
            for (int j = i   1; j < N; j  ) {
                if (less(a[j], a[min])) {
                    min = j;
                }
            }
            exch(a, i, min);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        //从标准输入读入字符串,排序后输出
        Integer[] a = new Integer[]{1,354,55,66,7};
        sort(a);
        assert isSort(a):"Error Information...";
        show(a);
    }
}

慎选排序内循环只是在可比当前元素与当下已知最小成分(以及将最近索引加一和检讨是还是不是代码越界),调换来分的代码写到了内循环之外,每一次调换都能排定1个成分,因此沟通总次数是N。所以算法总的时间成效取决于比较次数。

  • 长度为 N 的数组,选用排序供给差不离 (N^二) / 贰 次比较和 N 次交换

0 到 N-壹 的自便 i 都会实行三次沟通和 N-一-i 次相比较,因而总共有 N 次调换以及(N-一) (N-二) ... 2 一 = N(N-一) / 二 ~ N^2 / 2次比较

  • 慎选排序有三个分明特点:
  1. 运营时刻和输入非亲非故。为了寻觅最小成分而扫描一次数组并无法为下一回扫描提供什么样音信。这种意况在少数情况下是老毛病,因为贰个曾经平稳的数组或是主键全部等于的数组和2个成分随机排列的数组所用的排序时间一模二样长,而任何算法更擅长利用输入的初叶状态。
  2. 多少移动最少。每一遍沟通都会变动两个数组成分的值,因而采取排序用了N次调换——交流次数和数组大小是线性关系,而别的任何算法都不持有这么些天性(超过八分之四增高数量级都以线性对数或平方品级)。

归并排序的二种完成方式:递归和巡回

归并排序有三种达成格局: 基于递归的联结排序和基于循环的联结排序。(也叫自顶向下的统1排序自底向上的会合排序

 

那三种归并算法固然达成情势分歧,但依旧有共同之处的:

 

1. 无论是基于递归依然循环的联结排序, 它们调用的基本措施莫不相异的:达成1趟合并的算法,即多个已经稳步的数组连串合并成多个越来越大的平稳数组系列  (前提是八个原连串都以雷打不动的!)

2. 从排序轨迹上看,联合体系的长度都以从小(1个因素)到大(整个数组)增进

 

 

原地归并的聊以自慰方法

Q:为何需求原地归并?
A:因为用归并将一个大数组排序时,必要张开多次归并,而且每一回归并会都制造2个新数组来存款和储蓄排序结果会带动难点。

Q:原地归并贯彻了什么样?
A:能够先将前半有的排序,再将后半有的排序,然后数组中活动成分而无需选择额外的空中(将多个静止的数组归并为2个因循古板的数组)

Q:怎么着完结归并?
A:制造三个适宜大小的数组,然后将四个输入数组中的成分叁个个多年方法那些数组中。

代码完毕
根据排序算法类的沙盘完成归并排序(提示:点蓝字查看详细的情况)

    /**
     * 将子数组 arr[lo...mid] 和 arr[mid 1...hi] 归并成一个有序的数组并将结果存放在 arr[lo...hi] 中。
     * 将所有元素复制到一个辅助数组中,再把归并的结果放回原数组中
     */
    private static void merge(Comparable[] arr, int lo, int mid, int hi) {
        // 将 arr[lo...mid] 和 arr[mid 1...hi] 归并
        int indexI = lo;
        int indexJ = mid   1;
        // 将 a[lo...hi] 复制到 aux[lo...hi]
        // System.arraycopy(arr, lo, aux, lo, hi - lo   1);
        for (int indexK = lo; indexK <= hi; indexK  ) {
            aux[indexK] = arr[indexK];
        }
        // 归并回到 arr[lo...hi]
        for (int indexK = lo; indexK <= hi; indexK  ) {
            // 左半边用尽(取右半边的元素)
            if (indexI > mid) {
                arr[indexK] = aux[indexJ  ];
            }
            // 右半边用尽(取左半边的元素)
            else if (indexJ > hi) {
                arr[indexK] = aux[indexI  ];
            }
            // 右半边的当前元素小于左半边的当前元素(取右半边的元素)
            else if (less(aux[indexJ], aux[indexI])) {
                arr[indexK] = aux[indexJ  ];
            }
            // 右半边的当前元素大于左半边的当前元素(取左半边的元素)
            else {
                arr[indexK] = aux[indexI  ];
            }
        }
    }
final static boolean less(Comparable i, Comparable j) {
        return i.compareTo(j) < 0;
}

final static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
}```

在排序中我们使用Comparable[]的数组进行排序,以便兼容其他类型的数组。

####选择排序

快速排序是的思维是依次找到最小或最大的值,将这个值与我们所比较的值中的第一个或进行交换。这种算法的特点是:1、运行时间与输入无关,就算是输入有序运行时间也是差不多的;2、数据的移动是所有算法中最少的。
题目

规行矩步本书开端所示轨迹的格式给出原地归并排序的虚幻 merge() 方法是什么将数组 A E Q S U Y E I N O S T 排序的。

壹.二 插入排序

插入排序:整理扑克时一般都是一卡瓦略张来,将每张牌插入到别的已经稳步的牌中的适当地方。在计算机达成中,为了要给插入元素腾出空间,须求将别的全部因素在插入之前都向右移动1位。这种算法叫做插入排序

  • 与选择排序同样,当前目录左侧全数因素都以严守原地的,但它们最终地方还不分明,为了给越来越小成分腾出空间,它们或许会被活动,但当索引达到数组右端时,数组排序就完事了。
  • 与采取排序差异的是,插入排序所需时间取决于输入兰月素的起先顺序。如对类似平稳的数组排序要比自由数组快诸多。

对此自由排列的尺寸为N且主键不重复的数组,平均景况下插入排序供给 ~ N^2 / 四$ 次相比较以及~N^二 / 四 次调换。最坏情状下要求 ~ N^二 / ② 次相比和 ~N^2 / 2 次沟通,最佳状态下供给 N-一 次相比较和 0 次调换。

public class Insertion{
    //第1种实现
    public static void sort1(Comparable[] a){
        int N = a.length;
        for(int i = 1; i < N; i  ){
            for(int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j - 1]); j--){
                exch(a, j, j - 1);
            }
        }
    }
    // 第2种实现
    public static void sort2(Comparable[] a){
        int N = a.length, j;
        for(int i = 1; i < N; i  ){
            Comparable key = a[i];
            j = i - 1;
            //注意 j >= 0
            while(j >= 0 && less(key, a[i])){
                a[j   1] = a[j];
                j -= 1;
            }
            a[j   1] = key;
        }
    }
}

设想一般境况下局地有序的数组。倒置指的是数组中四个顺序颠倒的因素。例如EXAMPLE中有1一对倒置:E-A,X-A,X-M,X-P,X-L,X-E,M-L,M-E,P-L,P-E和L-E。若数组中倒置的数额低于数组大小的有些倍数,则那个数组是一些有序。插入排序对如此的数组很得力,事实上,当倒置数量很时辰,插入排序或许比别的任何算法都快。

插入排序的置换操作和数组中倒置数量同样,供给相比较的次数超越等于倒置的数码,小于等于倒置的数额增进数组的分寸再减一。要小幅升高插入排序速度并轻松,只需在内循环中校较概况素都向右移而不总是交流多少个因素(那样访问数组次数就会减半),即上述第2种完成。

单趟归并算法

 

自顶向下的联结排序(化零为整,递归化解)

是因为上述的原地归并只能将四个静止的数组归并成一个平稳的数组,所以得依据原地归并的虚幻去落到实处一种递归归并。

要对子数组 arr[lo...hi] 举办排序,先将它分为 arr[lo...mid] 和 arr[mid 1...hi] 两局地,分别通过递归调用将它们单独排序,最后将平稳的子数组归并为最后的排序结果。

Q:为何它能将科学的排序?
A:借使它能将三个子数组排序,那么它就足以经过归并四个子数组来将全方位数组排序。

public static void selectionSort(Comparable[] a) {
int N = a.length;
for (int i = 0; i < N; i ) {
int min = i;
for (int j = i 1; j < N; j ) {
if (less(a[j], a[min]))
min = j;
exch(a, i, min);
}
}
}```

解答

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一.三 希尔排序

希尔排序:是1种基于插入排序的排序算法。对于广大乱序数组插入排序极慢,因为它只会换换相邻的元素,若最小成分在数组最后,则对其必要活动N-1次。希尔排序革新了插入排序,交流不相邻的要素以对数组的有个别进展排序,并最后用插入排序将有个别有序的数组排序。

  • h有序数组:数组中率性间隔为 h 的要素都纹丝不动。即三个 h有序数组 就是 h 个相互独立的有序数组编织在一同构成的1个数组。若h十分的大,则可将成分移到很远地方,为实现更加小的h有序创建福利。
public class Shell{
    //第1种实现
    public static void sort1(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        int h = 1;
        while (h < N / 3) {
            h = 3 * h   1;
        }
        while (h >= 1) {
            for (int i = h; i < N; i  ) {
                //注意 j >= h
                for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j - h]); j -= h) {
                    exch(a, j, j - h);
                }
            }
            h /= 3;
        }
    }
    //less()、exch()和isSort()见排序算法类的模板

    //第2种实现
    public static void sort2(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        //初始化gap,逐步缩小gap,直到1
        for (int gap = N / 2; gap >= 1; gap /= 2) {
            //每组都从第gap个元素开始进行直接插入排序
            for (int i = gap; i < N; i  ) {
                //插入排序
                Comparable key = a[i];
                int j = i - gap;
                //注意 j >= 0
                while (j >= 0 && less(key,a[j])){
                    a[j   gap] = a[j];
                    j -= gap;
                }
                a[j   gap] = key;
            }
        }
    }
}

算法实例解释可参看:
白话非凡算法种类之三希尔排序的完毕
图解排序算法(二)之希尔排序

希尔排序更神速原因是它权衡了子数组的范围和有序性。排序之初,各样子数组都相当短,排序之后子数组都以一些有序的,那三种状态都合乎插入排序。子数组部分有序的品位在于递增种类的精选。

单趟排序的落到实处解析

 

上面笔者先介绍二种差别归并算法调用的集体艺术, 即实现单趟归并的算法。(多个已经稳步的数组连串合并成二个更加大的有序数组种类)

 

在上马排序前创办有一个和原数组a长度一样的空的帮扶数组aux

 

单趟归并的进度如下:

 

一.  第2将原数组中的待排序系列拷贝进扶助数组的同等地点中,就要a[low...high]拷贝进aux[low...high]中

2.  帮扶数组aux的职务有两项:相比成分大小, 并在aux中各个获得有序的因素放入原数组a中 (通过1使aux和a在low-high的职位是一模二样的!那是落到实处的基础)

3.  因为aux[low...high]由两段有序的队列:aux[low...mid]和aux[mid...high]整合, 这里称之为aux一和aux2,大家要做的正是从aux一和aux2的尾部成分开头,相比较双方成分的高低。将相当小的成分放入原数组a中(若a[0]已被占则放在a[1]...依次类推),并获得相当小成分的下贰个因素, 和另1个行列中异常的大的因素比较。因为前提是aux壹和aux二都以一步一趋的,所以经过这种格局大家能获得越来越长的雷打不动体系

4.  一经aux的两段连串中,当中壹段中的全体因素都已"相比较"完了, 获得另一段连串中剩下的成分,全部放入原数组a的多余地方。

 

经过三和4的完结方式

  • 安装多个游标 i 和 j 用于“成分相比” (在aux中举行):变量,i 和 j,分别代表左游标和右游标,起来时分别指向aux[low]和aux[mid]
  • 设置游标k用于分明在a中放置成分的职位(在a中进行),k在开头时候指向a[low]
  • 完整上来讲i, j, k的主旋律都以向右移动的

 

进度三和4的图示演讲

 

图A

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整合位置的经过三,  相比较 i 和 j 当前所指的aux中的成分的高低, 取得个中相当的大的足够元素(比如上航海用教室中的i),将其放入数组a中, 此时(在图中若是情状下): i加一,左游标右移。  同有的时候候k也加一, k游标也向右移动

 

图B

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组合地点的经过四, 在 i 和 j 都向右移动的历程中, 在图中假诺意况下,因为j当前所指的成分(图中地方)大于左半边即a[low...mid]的具有因素,导致 i 不断扩大(右移)且通过了边界(mid), 所以那时候就不需求相比了,只要把j当前所指地点到high的因素都搬到原数组中,填满原数组中剩下的岗位, 单趟归并就完事了, 在那1段进度中 j 接二连三加一,右游标一而再右移。  同期k也三番五次加壹, k游标也一而再右移, 直到 j == high且k == high截止

 

依赖上边包车型客车公布, 计算出单趟归并算法中最要害的五个标准判别景况:

  1. 左半边用尽(取右半边的因素)
  2. 右半边用尽(取左半边的因素)
  3. 右半边元素小于左半边当前因素(取右半边的因素)
  4. 右半边成分大于等于左半边当前因素(取左半边的因素)

 

 

运作轨道

自顶向下的联合排序运转轨道

插入排序

插入排序的基本思路是在循环中校下标i以前的因素实行相比较交换(那儿是不合乎比一点都不大或相当大的尺度则交流)。这种算法对于有序恐怕比较平稳的数组时作用较高。

public static void insertSort(Comparable[] a) {
        int n = a.length;
        for (int i = 1; i < n; i  ) {
            Comparable mi = a[i];
            boolean f = false;
            int j = i;
            for (; j > 0 && less(mi, a[j - 1]); j--) {
                a[j] = a[j - 1];
                f = true;
            }
            if (f) {
                a[j] = mi;
            }
        }
    }```

在上述插入排序代码示例中,并没有每次比较交换相邻的两个元素,而是将较大的元素都向右移,也是每次循环中将比循环比较的最后一个元素的值大的元素都作右移操作,从而减少访问数组的次数。对于减少访问数组的次数,这点需要详细说明一下:对于普通的插入排序,是每次获取相邻两个元素的值进行比较交换,即每次循环都会获取2*i次数据,总的访问数组(即获取数组元素)的次数就是n*(n-1)次(n为数组的长度);而对于优化后的插入排序,每次循环访问数组i 1次,总的访问数组(n-1)*(n 2)/2次,大约减少了一半的访问数组的次数。

而对于插入排序与选择排序的比较,主要是在数组有序或部分有序时,减少了交换的次数,从而对于部分有序或有序的数组较高。
####希尔排序
希尔排序的思想是使数组中的任意间隔为h的元素都是有序的。相对于插入排序改变了原来的插入的顺序。从原来的相邻的两个元素交换改成现在相邻两个增量交换的排序(增量即间隔)。通过增量递减的方式重复排序,直到增量为1,使得原数组有序。(增量序列为一组递减的且最后一个元素为1的数组。)

public static void shellSort(Comparable[] a) {
int N = a.length;
for (int h = N / 2; h >= 1; h = h / 2) {
for (int i = h; i < N; i ) {
for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j - h]); j -= h) {
exch(a, j, j - h);
}
}
}
}```

在示范中本人是将增量/二获得之后的增量;当然这种增量体系不是最优的。在张连堂与张博的《希尔排序最好增量种类研讨》中做了有个别深入分析并拿走一种最优的增量类别:... 2^k -一, ... 15, 7, 3, 1。

希尔排序对于在此以前的排序算法是对此平方级的突破,权衡了子数组的局面与有序性使得其进一步神速。

2.2.2

一.4 归并排序

归并排序:将2个数组排序,能够先(递归地)将它分为两半分头排序,然后将结果归并起来。归并排序将长度为N的数组排序所需时日和 NlogN 成正比;所需额外层空间夹钟 N 成正比。

单趟排序算法的代码

 

有了地点的表达,写这几个算法就轻便了吧

 

/**
   * @description: 完成一趟合并
   * @param a 输入数组
   * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列, 其中a[low...mid]和 a[mid 1...high]已有序
   */
  private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) {
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置
    }
    int i = low;    // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素
    int j = mid 1;  // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      if(i>mid){
        a[k] = aux[j  ]; // 左半边用尽
      }else if(j>high){
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边用尽
      }else if(aux[j]<aux[i]){
        a[k] = aux[j  ]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素, 取右半边元素
      }else {
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素,取左半边元素
      }
    }
  }
}
 

 

【注意】在排序之初创立了三个长短和原数组a一样的扶持数组aux,那有的代码上文未提交

 

代码完成

根据排序算法类的沙盘福寿绵绵选用排序(提示:点蓝字查看详细的情况)

    private static Comparable[] aux;    // 归并所需的辅助数组

    public static void sort(Comparable[] arr) {
        aux = new Comparable[arr.length]; // 一次性分配空间
        sort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void sort(Comparable[] arr, int lo, int hi) {
        // 将数组 arr[lo...hi] 排序
        if (hi <= lo) return;
        int mid = lo   ((hi - lo) >> 1);
        sort(arr, lo, mid);          // 将左半边排序
        sort(arr, mid   1, hi);  // 将右半边排序
        merge(arr, lo, mid, hi);     // 归并结果
    }

归并排序

归并排序分为原地归并、自顶向下、自底向上三种归并形式。然而最根本的合计也是归并,归并是将左右两端进行相比较,将小的放上去,需求专注越界。而自顶向下是应用分治的构思,使用递归的章程举办归并。自底向上是采取相邻多少个归并,在到邻县两组归并,刚好与自顶向下相反。

public static class Merge {
        private static Comparable[] aux;

        /*归并*/
        public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  ) {
                aux[k] = a[k];
            }
            for (int k = lo; k <= hi; k  ) {
                if (i > mid) a[k] = aux[j  ];
                else if (j > hi) a[k] = aux[i  ];
                else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j  ];
                else a[k] = aux[i  ];
            }
        }

        /*自顶向下*/
        public static void mergeTopSort(Comparable[] a) {
            aux = new Comparable[a.length];
            sort(a, 0, a.length-1);
        }

        private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
            if (hi <= lo) return;
            int mid = lo   (hi - lo)/2;
            sort(a, lo, mid);
            sort(a, mid 1, hi);
            merge(a, lo, mid, hi);
        }

        /*自底向上*/
        public static void sort(Comparable[] a) {
            int N = a.length;
            aux = new Comparable[N];
            for (int sz = 1; sz < N; sz = sz sz) {
                for (int lo = 0; lo < N -sz; lo  = sz sz) {
                    merge(a, lo, lo sz 1, Math.min(lo sz sz-1, N-1));
                }
            }
        }
    }```

####快速排序

快速排序是最常用的排序算法,采用分治的思想。将一个数组分为两个数组再排序。

切分(partition)是使用交换等方法将某个值放确切的位置,再将其左右排序切分。这个确切的值满足其左边都小于它,右边都大于它,使得在其确定后,在整个排序过程中都不会对其产生影响,其位置不会再作变化。

final static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
int i = lo, j = hi 1;
Comparable v = a[lo];
while (true) {
while (less(a[ i], v)) {
if (i == hi) break;
}
while (less(v, a[--j])) {
if (j == lo) break;
}
if (i >= j) break;
exch(a, i, j);
}
exch(a, lo, j);
return j;
}```

而排序算法正是应用递归的法子去调用切分的办法。

public static void quickSort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
       if (hi <= lo) return;
       int j = partition(a, lo, hi);
       quickSort(a, lo, j - 1);
       quickSort(a, j   1, hi);
   }```

上述为标准快速排序,其在很多地方依然具有缺陷,如在切分不平衡时可能使得排序十分低效,如将{6, 5, 4, 3, 2, 1}转换成由小到大排序时就十分低效。

当然对于快速排序,先辈们依然做了许多优化的方法:1、快速排序对于小数组的排序特别慢,因此使用在数组小时以及分治到较小是采用插入排序优化;2、使用三取样切分,来解决具有大量重复数据情况。三取样切分的快速排序算法示例如下:

public static void quick3waySort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) return;
int lt = lo, i = lo 1, gt = hi;
Comparable v = a[lo];
while (i <= gt) {
int cmp = a[i].compareTo(v);
if (cmp < 0) {
exch(a, lt , i );
} else if (cmp > 0) {
exch(a, i, gt--);
} else {
i ;
}
}
quick3waySort(a, lo, lt - 1);
quick3waySort(a, gt 1, hi);
}```

题目

依照算法 二.4 所示轨迹的格式给来自顶向下的联结排序是什么将数组 E A S Y Q U E S T I O N 排序的。

原地归并的架空方法——merge()

public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi){
    //将 a[lo...mid] 和 a[mid...hi] 归并
    int i = lo, j = mid   1;
    //将 a[lo...hi] 复制到 aux[lo...hi]
    for(int k = lo; k <= hi; k  ){
        aux[k] = a[k];
    }
    //归并回到 a[lo...aux]
    for(int k = lo; k <= hi; k  ){
        if(i > mid){
            a[k] = aux[j  ];
        }else if(j > hi){
            a[k] = aux[i  ];
        }else if(less(aux[i], aux[j])){
            a[k] = a[i  ];
        }else{
            a[k] = a[j  ];
        }
    }
}

上述方法将全体因素复制到二个帮扶数组aux[]中,再把归并结果放回原数组a[]中。方法在归并时(第三个for循环)实行了6个决断:左半边用尽(取右半边成分)、右半边用尽(取左半边成分)、左半边的当下成分小于右半边的脚下因素(取左半边成分)以及右半边的此时此刻成分小于左半边的此时此刻因素(取右半边元素)

单趟排序的长河图解

 

为了更详细的叙述单趟排序的经过,上面在上头的图A和图B的底子上交给每一步的图解:

 

咱们要排序的队列是 二 4 五 九 一 三 6 七, 合并的前提是贰 四 5 玖 和 一 三 陆 柒都以稳步的

 

先比较aux中2和1的大小,因为2>1,所以将1放入a[0]。这时, 游标 i 不动, 游标 j 右移, 游标 k 右移

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比较aux中2和3的大小,因为2<3,所以将2放入a[1]。这时, 游标 j 不动, 游标 i 右移, 游标 k 右移

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比较aux中4和3的大小,因为3<4,所以将3放入a[2]。这时, 游标 i 不动, 游标 j 右移, 游标 k 右移

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看似上述, 不表达

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就像上述, 不表达

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好像上述, 不说明

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看似上述, 不表明

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留意, 那这里 j 扩大导致 j> high,  未来的事态是“右半边用尽”, 所以将aux左半边剩余的成分九放入a剩下的片段a[7]中, 单趟排序达成

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【注意】 上边那个例子中的类别只是数组的一有些, 并不一定是漫天数组

 

 

自家在上面介绍过,三种差别归并算法: 基于递归的联结和基于循环的联结,  都以以单趟归并的算法为根基的。

 

上面先来讲一下基于递归的会面排序(自顶向下的联合排序)

 

天性剖析

一流状态:T(n) = O(n)
最差情形:T(n) = O(nlogn)
平均情形:T(n) = O(nlogn)

对此长度为 N 的大4数组,自顶向下的联合排序必要 1/2NlgN - NlgN 次比较

对于长度为 N 的猖獗数组,自顶向下的统一排序最多供给访问数组 6NlgN 次(2N 次用来复制、2N 次用来将排好序的因素移动回去、其它最多比较 2N 次)。

Q:主要缺点是何许
A:帮助数组所运用的额外层空间间和 N 的大大小小成正比。

早期队列以及堆排序

看名就能够猜到其意义,是负有优先级的序列,即对于这么些行列中的数据是严守原地的。达成方式有众多,基于数组、链表、堆都得以达成。那儿首要介绍一下基于2叉堆的优先队列的兑现,下述代码中已经特别显然。

public static class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {
        private Key[] pq;
        private int N = 0;

        public MaxPQ(int maxN) {
            pq = (Key[]) new Comparable[maxN   1];
        }

        public boolean isEmpty() {
            return N == 0;
        }

        public int size() {
            return N;
        }

        private boolean less(int i, int j) {
            return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
        }

        private void exch(int i, int j) {
            Key t = pq[i];
            pq[i] = pq[j];
            pq[j] = t;
        }

        private void swim(int k) {
            while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
                exch(k / 2, k);
                k /= 2;
            }
        }

        private void sink(int k) {
            while (2 * k <= N) {
                int j = 2 * k;
                if (j < N && less(j, j   1)) {
                    j  ;
                }
                if (!less(k, j)) {
                    break;
                }
                exch(k, j);
                k = j;
            }
        }

        public void insert(Key v) {
            pq[  N] = v;
            swim(N);
        }

        public Key delMax() {
            Key max = pq[1];
            exch(1, N--);
            pq[N   1] = null;
            sink(1);
            return max;
        }
    }```

需要注意的是上浮swim()和下沉sink()函数,是分别在插入与删除的时候被调用使得二叉堆平衡。

而堆排序算法如下:

public static void heapSort(Comparable[] a) {
int n = a.length;
for (int k = n/2; k >= 1; k--) {
sink(a, k, n);
}
while (n > 1) {
exch(a, 1, n--);
sink(a, 1, n);
}
}```

那时的sink(i,j,N)也是下沉函数,是将从j为顶起来下沉操作,使得平衡,具体落实类似于事先的事先队列的sink函数。这儿的思维是赢得最大数与终极3个数沟通再对前方的数组举行下沉操作,依此类推。

解答

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自顶向下的统一排序

public class Merge extends Example {
    //归并所需辅助数组
    private static Comparable[] aux;
    public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        int i = lo, j = mid   1;
        //将a[]复制到aux[]
        for (int k = lo; k <= hi; k  ) {
            aux[k] = a[k];
        }
        //注意:比较元素都用aux[]
        for (int k = lo; k <= hi; k  ) {
            if (i > mid) {
                a[k] = aux[j  ];
            } else if (j > hi) {
                a[k] = aux[i  ];
            } else if (less(aux[j], aux[i])) {
                a[k] = aux[j  ];
            } else {
                a[k] = aux[i  ];
            }
        }
    }
    public static void sort(Comparable[] a) {
        aux = new Comparable[a.length];
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo) {
            return;
        }
        int mid = lo   (hi - lo) / 2;
        //左半边排序
        sort(a, lo, mid);
        //右半边排序
        sort(a, mid   1, hi);
        //归并结果
        merge(a, lo, mid, hi);
    }
    public static void main(String[] args) {
        //从标准输入读入字符串,排序后输出
        Integer[] a = new Integer[]{49, 38, 65, 97, 26, 13, 27, 49, 55, 4};
        sort(a);
        assert isSort(a) : "Error Information...";
        show(a);
    }
}
  1. 对此长度为 N 的数组,自顶向下的联合排序必要 二分之一NlogN 至 NlogN 次正如
  2. 对此长度为 N 的数组,自顶向下的集结排序最多须求拜访数组 陆NlogN 次

归并排序所需时间和 NlogN 成正比,首要缺点是扶持数组所使用的附加空间和 N 的高低成正比。

基于递归的联合排序(自顶向下)

 

依据递归的合并排序又称为自顶向下的会集排序

 

自底向上的联合排序(循途守辙的减轻)

落到实处合并的另一种办法:先归并那个微型数组,然后再成对归并得到子数组。首先两两归并,然后肆四归并,然后八八归并,一贯下去。

总结

对于排序算法,大家要求剖判其安居。在排序算法中保留重复元素的相对地方,则该算法是平静的。对于当下的排序算法中,插入与归并排序是和睦的;而挑选、希尔、火速、堆排序不是天下太平的。

算法 是否稳定 是否原地排序 时间复杂度 空间复杂度 备注
选择排序 N^2 1
插入排序 介于N和N^2之间 1 取决于输入元素的排列情况
希尔排序 1
快速排序 N*logN lgN 运行效率由概率提供保证
三切分快速排序 介于N和N*logN之间 lgN 运行效率由概率提供保证,同时取决于输入元素的分布情况
归并排序 N*logN N
堆排序 N*logN 1

2.2.3

归并改革:
  • 对小圈圈数组使用插入排序。使用插入排序管理小范围的子数组,一般能够将归并排序运营时刻收缩百分之十~15%。
  • 测试数组是或不是早已平稳。增加八个论断规范,若 a[mid] <= a[mid 1] 则以为数组已经平稳并跳过 merge() 方法。那么些改动不影响排序的递归调用,但随意有序的子数组算法的运营时刻就变为线性了。
  • 不将成分复制到扶助数组。能够节约成分复制到帮助数组所用时间(但空间充足),此时需调用二种排序方法,一种从输入数组排序到赞助数组,一种从协理数组排序到输入数组,本事是在递归调用的各样档期的顺序调换输入数组和帮衬数组的角色。

递归归并的构思

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最珍视的是sort(int a [], int low,int high)方法里面包车型客车叁行代码:

sort(a,low,mid); 
sort(a,mid 1,high);
merge(a,low,mid,high);

 

个别代表对很多边类别递归、对右半边体系递归、单趟合并操作。

 

整整代码:

/**
* @Author: HuWan Peng
* @Date Created in 9:44 2017/11/29
*/
public class MergeSort {
  private static int aux [];
  /**
   * @description: 1. 初始化辅助数组aux,使其长度和原数组相同
   *               2. 包装sort,向外只暴露一个数组参数
   */
  public static void sort(int a []){
    aux = new int[a.length];
    sort(a,0,a.length-1);
  }
  /**
   * @description: 基于递归的归并排序算法
   */
  private static void sort (int a [], int low,int high) {
    if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件
    int mid =  low   (high - low)/2;  // 取得序列中间的元素
    sort(a,low,mid);  // 对左半边递归
    sort(a,mid 1,high);  // 对右半边递归
    merge(a,low,mid,high);  // 单趟合并
  }
 
  /**
   * @description:  单趟合并算法
   * @param a 输入数组
   * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列,其中a[low...mid]和 a[mid 1...high]已有序
   */
  private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) {
    int i = low;    // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素
    int j = mid 1;  // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置
    }
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      if(i>mid){
        a[k] = aux[j  ]; // 左半边用尽
      }else if(j>high){
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边用尽
      }else if(aux[j]<aux[i]){
        a[k] = aux[j  ]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素, 取右半边元素
      }else {
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素,取左半边元素
      }
    }
  }
}

 

 

测试代码:

 

public class Test {
  public static void main (String args[]){
    int [] a = {1,6,3,2,9,7,8,1,5,0};
    MergeSort.sort(a);
    for(int i=0;i<a.length;i  ){
      System.out.println(a[i]);
    }
  }
}

 

 

输出结果

0
1
1
2
3
5
6
7
9

 

 

运作轨迹

本文并从未涉嫌全数的排序算法,还应该有如冒泡排序、基数排序等,须求的可以找找资料学习。

题目

用自底向上的合并排序解答演练 二.二.二

自底向上的集结排序

先归并微型数组,然后再成对归并获得的子数组,直到将全数数组归并到一同,那比标准递归方法所需代码量少。首先是两两归并(每种元素是大大小小为一的数组),然后44归并(将七个分寸为二的数组归并成一个有5个因素的数组),然后是8八归并...

    public static void sort(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        aux = new Comparable[N];
        //sz 子数组大小
        for (int sz = 1; sz < N; sz  = sz) {
            //lo 子数组索引
            for (int lo = 0; lo < N - sz; lo  = sz   sz) {
                merge(a, lo, lo   sz - 1, Math.min(lo   sz   sz - 1, N - 1));
            }
        }
    }

自底向上归并排序会频仍遍历整个数组,依照子数组大小实行两两归并,子数组大小sz初步值为1,每一遍加倍。最终一个子数组大小唯有在数组大小是sz的偶好几倍时才也正是sz(不然会比sz小)。

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自底向上的集结排序的会集结果

长度为 N 的数组,自底向上的联结排序需 4/8NlogN 至 NlogN 次相比较,最多访问数组 6NlogN 次。

  • 当数主管度为二的幂时,自顶向下和自底向上归并排序所用比较和访问次数同样,只是顺序分裂。
  • 自底向上归并排序适合用链表团体数据。此措施只需再度组织链表连接就能够将链表原地排序(不需创造任何新的链表节点)。

用自顶向下或自底向上方式贯彻其余分治算法都很当然。归并排序表达,当能用1种“化整为零”方法化解时得以试试另一种“安分守纪”的艺术。

递归栈深度和调用顺序

 

递归导致的结果是,产生了1三种有档案的次序、次序显著调用顺序的merge,  如下图右边的写入编号的merge列表

从上到下,是逐1merge的程序调用顺序,一起始调用, 15结尾调用

从右到左, 递归栈由深到浅,比如 一,二,四,伍的递归深度是一模一样的, 而叁比它们浅叁个档期的顺序

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(这里是遵照字母排序, A最小, Z最大)

 

对上海教室可依据代码来理解

sort(a,low,mid);      // A
sort(a,mid 1,high);   // B
merge(a,low,mid,high);// C

 

 

率先,在首先层递归的时候,先进入的是率先行的sort方法里(A处),然后随着又进来了第1层递归的第二行sort方法(A处), 如此继续,由(a, low,mid)的参数列表可见其递归的来头是直接向左移动的,直到最终一层递归,所以起始实践merge的对象是a[0]和a[1](上海教室编号一),再然后施行的是终极壹层递归的第叁行代码(B处),那时候merge的对象是a[2]和a[3](上图编号二)。 再然后, 再次回到上一层递归,对曾经稳步的a[0]、a[1]和a[2]、a[3]张开merge。(上航海用体育场地编号三)如此继续,递归的深浅不断变浅, 直到对任何数组的左右两半实行merge。 (上海体育地方编号三)

 

 

代码达成

根据排序算法类的模版贯彻选择排序(提示:点蓝字查看详细的情况)

    private static Comparable[] aux;    // 归并所需的辅助数组

    public static void sortBU(Comparable[] arr) {
        int N = arr.length;
        aux = new Comparable[N];
        // sz 的初始值为 1 , 每次加倍
        for (int sz = 1; sz < N; sz = sz   sz) {            // sz子数组大小
            for (int lo = 0; lo < N - sz; lo  = sz   sz) {  // lo:子数组索引
                // 最后一个子数组的大小,只有在数组大小是 sz 的偶数倍时,才会等于sz,否则会比 sz 小
                merge(arr, lo, lo   sz - 1, Math.min(lo   sz   sz - 1, N - 1));
            }
        }
    }
解答

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排序算法的复杂度

商讨复杂度的率先步是创造二个盘算模型。对排序来讲,基于相比较的算法对数组操作方法是由主键相比决定。

未曾其他依据相比的算法能保障使用轻松 log(N!) ~ NlogN 次相比较将长度为 N 的数组排序
归并排序是1种渐进最优的凭借相比较排序的算法。归并排序在最坏意况下的比较次数和私下基于相比较的排序算法所需的至少比较次数都以 ~NogN。

递归归并的轨道图像

 

(上边展现的集结实行了有的优化,对小数组使用插入排序)

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依据上文所讲的递归栈和调用顺序, 上边包车型大巴轨迹图像就简单掌握了: 从最左侧的要素先导群集,而且左侧的数组连串在第三轮合并后,相邻左边的数组按同样的轨道进行合并, 直到统1出和左边手一样长度的队列后,才和左边合并(递归栈上升1层)

 

 

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质量深入分析

对此长度为 N 的任性数组,自底向上的集结排序供给 1/2NlgN - NlgN 次比较,最多走访数组 陆NlgN 次。(每一边走访数组 6N 次,相比次数 N/贰 - N)

当数组长度为 2 的幂时,自顶向下和自底向上的联结排序所用的正如次数数组访问次数凑巧一样,只是顺序差别。

自底向上的合并比较吻合用链表组织的数据。

2.2.4

Q&A

  1. 归并排序比希尔排序快吗?
    在其实使用中,它们运营时刻距离在常数等级。
  2. 何以不把数组 aux[] 声明为 merge() 方法的局地变量?
    为幸免每一回归并时,纵然归并非常的小的数组都创造一个新数组,不然创设新数组将产生归并排序运维时刻首要部分。越来越好的法子是将 aux[] 变为 sort() 方法的片段变量,并视作参数字传送给 merge() 方法。
  3. 当数组中设有双重成分时归并排序品质怎么着?
    若持有因素一样,则归并排序运营时刻是线性的。若有两个例外重复值,运维时刻是线性对数的(和具备因素都不另行满意同样循环条件)。

依附递归归并排序的优化措施

 

总结

并没有别的依靠相比较的算法能够确认保障使用轻易 lg(N!) - NlgN 次相比将长度为 N 的数组排序。

归并排序是1种渐进最优的依照比较排序的算法。

题目

是还是不是当且仅当多少个输入的子数组都稳步时原地归并的悬空方法技巧获得正确的结果?
证实你的定论,可能给出一个反例。

壹.5 连忙排序

高效排序特点包罗原地排序(只需三个异常的小的辅助栈),且将长度为 N 的数组排序所需时间和 NlogN 成正比,内循环比大许多排序算法都要短小。

高效排序:是1种分治排序算法。将一个数组分成三个子数组,将两片段单独地排序。快排和合并排序是补偿的,归并排序将数组分成多个子数组分别排序,并将萧规曹随的子数组归并以将全数数组排序;快排的排序格局是当三个子数组都稳步时整个数组也自然有序了。前者的递归调用爆发在拍卖整个数组在此以前;后者递归调用爆发在管理任何数组之后。在归并排序中,八个数组被等分为两半;在快排中,切分地方取决于数组的原委。

public class Quick extends Example {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        //消除对输入的依赖
        StdRandom.shuffle(a);
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo) {
            return;
        }
        int j = partition(a, lo, hi);
        //将左半部分a[lo...j-1]排序
        sort(a, lo, j - 1);
        //将右半部分a[j 1...hi]排序
        sort(a, j   1, hi);
    }
    private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        //将数组切分成a[lo...i-1], a[i], a[i 1...hi]
        //左右扫描指针
        int i = lo, j = hi   1;
        //切分元素
        Comparable v = a[lo];
        while (true) {
            //扫描左右,检查扫描是否结束并交换元素
            while (less(a[  i], v)) {
                if (i == hi) {
                    break;
                }
            }
            while (less(v, a[--j])) {
                if (j == lo) {
                    break;
                }
            }
            if (i >= j) {
                break;
            }
            exch(a, i, j);
        }
        //将v = a[j]放入正确的位置
        exch(a, lo, j);
        //a[lo...j-1] <= a[j] <= a[j 1...hi]
        return j;
    }
}

迅猛排序最多需 N^2 / 2次相比较,但随之打乱数组能堤防这种场所。每一趟切分后两子数组之1总是空的动静下比较次数为:N (N-一) ... 1= N(N 一) / 贰,此时光阴是平方级其他,空间是线性的。

优化点1:对小规模子数组使用插入排序

用区别的法子管理小圈圈难点能改进大许多递归算法的习性,因为递归会使小范围难点中方法调用太过频仍,所以革新对它们的拍卖方法就会改良整个算法。 因为插入排序特别轻便, 由此一般的话在小数组上比归并排序更快。 这种优化能使归并排序的运作时刻减少百分之十到一五%;

 

怎么切换呢? 只要把作为结束递归条件的

  if(low>=high) { return; }

 

改成

    if(low   M>=high) { // 数组长度小于10的时候
      InsertSort.sort(int a [], int low,int high) // 切换到插入排序
      return;
    }

 

就足以了,那样的话,这条语句就颇具了三个效益:

 

一. 在适当时候结束递归

二. 当数CEO度小于M的时候(high-low <= M), 不开始展览归并排序,而进展插排

 

切实代码:

  private static void sort (int a [], int low,int high) {
    if(low   10>=high) { // 数组长度小于10的时候
      InsertSort.sort(int a [], int low,int high) // 切换到插入排序
      return;
    } // 终止递归的条件
    int mid =  low   (high - low)/2;  // 取得序列中间的元素
    sort(a,low,mid);  // 对左半边递归
    sort(a,mid 1,high);  // 对右半边递归
    merge(a,low,mid,high);  // 单趟合并
  }

 

 

优化方案

①、一贯将扶持数组作为参数字传送入,而不直接利用静态数组。
②、对小规模子数组使用插入排序,一般能够将归并排序的小时减少 一成 ~ 15%;
③、看清测试数组是或不是已经稳步,如果 arr[mid] <= arr[mid 1],我们就觉着数组已经是不改变的并跳过merge() 方法,能够是随便有序的子数组算法的运转时刻变为线性的。
4、merge() 方法中不将成分复制到帮助数组,节约数组复制的时日。调用两种排序方法,一种:将数据从输入数组排序到赞助数组;另1种:将数据从协理数组排序到输入数组。
重中之重:在每一个档案的次序交流输入数组和扶持数组的角色。

解答

正确,必需要三个子数组都稳步时归并才具博得精确结果。
若是说数组不平稳的话,那么最后不得不获取八个数组的混合。
集合后的数组中,属于原有数组的因素的对峙顺序不会被改换。
例如子数组 一 3 1 和 二 八 5 原地归并。
结果是 壹 二 三 一 8 伍,在那之中 1 叁 1 和 二 8 伍 的相对顺序不改变。

 

快排立异

  • 切换成插入排序。对于小数组,快排比插入排序慢;因为递归,快排的sort()主意在小数组中也会调用自身。因而在排序小数组时可切换来插入排序——将sort()中的 if (hi <= lo) return; 改为 if (hi <= lo M){Insertion.sort(a, lo, hi); return;},M 最棒值和系统相关,伍~1伍之间日常较好。
  • 三取样切分。使用子数组的一小部分要素的中位数来切分数组,那样切分越来越好,代价是需总结中位数。
  • 熵最优的排序。实际选择日常现身含有大批量重复成分的数组,三个要素全部双重的子数组就无需一而再排序了,但此前的算法还也许会一而再切分成越来越小的数组。轻松的消除格局是将数组切分为三有的(详见Dijkstra三向切分),分别对应小于、等于和大于切分成分的数组成分,这种比近日二分更复杂,相关主题材料有荷兰王国国旗问题。

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3向切分暗暗表示图

  1. a[i] 小于 v,将 a[lt] 和 a[i] 交换,将 lt 和 i 加一
  2. a[i] 大于 v,将 a[gt] 和 a[i] 交换,将 gt减一
  3. a[i] 等于 v,将 i 加一

这么些操作都会保障数组成分不改变且裁减 gt-i 的值(那样循环才会终止)。上面是3向切分的现实贯彻:

public class Quick3way{
    public static void sort(Comparable[] a) {
        StdRandom.shuffle(a);
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo){
            return;
        }
        int lt = lo, i = lo   1, gt = hi;
        Comparable v = a[lo];
        while (i <= gt){
            int cmp = a[i].compareTo(v);
            if (cmp < 0){
                exch(a, lt  , i  );
            }else if (cmp > 0){
                exch(a, i , gt--);
            }else {
                i  ;
            }
            sort(a, lo, lt - 1);
            sort(a, gt   1, hi);
        }
    }
}

对于唯有若干两样主键的轻便数组,归并排序时间复杂度是线性对数,而三向切分快排是线性的。对于自由布满的输入,最优的根据比较的算法平均所需相比次数和3向切分快排平均所需相比较次数相互处于常数因子范围内。

优化点2:  测试待排序连串中左右半边是不是已板上钉钉

 

因此测试待排序种类中左右半边是不是早已稳步, 在平稳的情况下制止合并方法的调用。

 

举个例子对单趟合并,大家对a[low...high]中的a[low...mid]和a[mid...high]拓展合并

因为a[low...mid]和a[mid...high]道理当然是那样的正是有序的,存在a[low]<a[low 1]...<a[mid]和a[mid 1]<a[mid 2]...< a[high]那三种关系, 倘诺判定出a[mid]<=a[mid 1]的话, 不就足以确定保障从而a[low...high]自家就是没有须要排序的雷打不动体系了吗?

 

  private static void sort (int a [], int low,int high) {
    if(low>=high) {
      return;
    } // 终止递归的条件
    int mid =  low   (high - low)/2;  // 取得序列中间的元素
    sort(a,low,mid);  // 对左半边递归
    sort(a,mid 1,high);  // 对右半边递归
    if(a[mid]<=a[mid 1]) return; // 避免不必要的归并
    merge(a,low,mid,high);  // 单趟合并
  }

 

 

优化代码
/**
 * 归并排序优化方案(其实并不是特别明显,稳定性也不好)
 *
 * @author TinyDolphin
 * 2017/11/6 11:45.
 */
public class MergePlus {

    // 经验之谈:数组的长度为 7 时,切换
    private static final int CUTOFF = 7;

    private static void merge(Comparable[] src, Comparable[] dst, int lo, int mid, int hi) {
        int indexI = lo;
        int indexJ = mid   1;
        for (int indexK = lo; indexK <= hi; indexK  ) {
            if (indexI > mid) {
                dst[indexK] = src[indexJ  ];
            } else if (indexJ > hi) {
                dst[indexK] = src[indexI  ];
            } else if (less(src[indexJ], src[indexI])) {
                dst[indexK] = src[indexJ  ];
            } else {
                dst[indexK] = src[indexI  ];
            }
        }
    }

    // 将数组 arr 排序到数组 aux
    private static void sort(Comparable[] src, Comparable[] dst, int lo, int hi) {
        // 优化方案②:应该在子数组长度为 7 的时候切换到插入排序
        if (hi <= lo   CUTOFF) {
            insertionSort(dst, lo, hi);
            return;
        }
        int mid = lo   ((hi - lo) >> 1);

        // 优化方案④:在每个层次交换输入数组和辅助数组的角色
        sort(dst, src, lo, mid);
        sort(dst, src, mid   1, hi);

        //优化方案③:判断测试数组是否已经有序
        if (!less(src[mid   1], src[mid])) {
            System.arraycopy(src, lo, dst, lo, hi - lo   1);
            return;
        }

        // 优化方案④:merge() 方法中不将元素复制到辅助数组
        merge(src, dst, lo, mid, hi);
    }

    public static void sort(Comparable[] arr) {
        // 优化方案①:直接将辅助数组作为参数传入
        Comparable[] aux = arr.clone();
        sort(aux, arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void insertionSort(Comparable[] arr, int lo, int hi) {
        for (int indexI = lo; indexI <= hi; indexI  ) {
            for (int indexJ = indexI; indexJ > lo && less(arr[indexJ], arr[indexJ - 1]); indexJ--) {
                exch(arr, indexJ, indexJ - 1);
            }
        }
    }

    /**
     * 比较两个元素的大小
     *
     * @param comparableA 待比较元素A
     * @param comparableB 待比较元素B
     * @return 若 A < B,返回 true,否则返回 false
     */
    private static boolean less(Comparable comparableA, Comparable comparableB) {
        return comparableA.compareTo(comparableB) < 0;
    }

    /**
     * 将两个元素交换位置
     *
     * @param arr    待交换元素所在的数组
     * @param indexI 第一个元素索引
     * @param indexJ 第二个元素索引
     */
    private static void exch(Comparable[] arr, int indexI, int indexJ) {
        Comparable temp = arr[indexI];
        arr[indexI] = arr[indexJ];
        arr[indexJ] = temp;
    }

    /**
     * 打印数组的内容
     *
     * @param arr 待打印的数组
     */
    private static void show(Comparable[] arr) {
        for (int index = 0; index < arr.length; index  ) {
            System.out.print(arr[index]   " ");
        }
        System.out.println();
    }

    /**
     * 判断数组是否有序
     *
     * @param arr 待判断数组
     * @return 若数组有序,返回 true,否则返回 false
     */
    public static boolean isSort(Comparable[] arr) {
        for (int index = 1; index < arr.length; index  ) {
            if (less(arr[index], arr[index - 1])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

2.2.5

《算法导论》上的快排

优化点3:去除原数组系列到协助数组的正片

在下面介绍的依照递归的统壹排序的代码中, 大家在历次调用merge方法时候,大家都把a对应的系列拷贝到协理数组aux中来,即

    for(int k=low;k<=high;k  ){
      aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置
    }

 

实际,大家得以由此1种**看起来相比逆天的艺术把那一个拷贝进度给去除掉。。。。。**

 

为了完毕那或多或少,大家要在递归调用的各种档案的次序沟通输入数组和输出数组的剧中人物,从而不断地把输入数组排序到帮忙数组,再将数据从协理数组排序到输入数组。

 

卧槽?! 还会有那样骚的操作要怎么搞? 请看:

 

  public static void sort(int a []){
    aux = a.clone(); // 拷贝一个和a所有元素相同的辅助数组
    sort(a,aux,0,a.length-1);
  }
  /**
   * @description: 基于递归的归并排序算法
   */
  private static void sort (int a[], int aux[], int low,int high) {
    if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件
    int mid =  low   (high - low)/2;  // 取得序列中间的元素
    sort(aux, a,low,mid);  // 对左半边递归
    sort(aux, a,mid 1,high);  // 对右半边递归
    merge(a, aux, low,mid,high);  // 单趟合并
  }

 

在此间我们做了五个操作:

  • 在排序前拷贝二个和原数组成分完全1致的鼎力相助数组(不再是创立二个空数组了!)
  • 在递归调用的各个等级次序交流输入数组和出口数组的角色

 

 

注意, 外部的sort方法和中间sort方法接收的a和aux参数刚好是相反的

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如此做的话, 大家就足以去除原数组系列到赞助数组的正片了!

 

但是您可能会问: 骚年, 大家要排序的而是原数组a啊! 你尽管一十分的大心最终浑然排序的是帮忙数组aux而不是原数组a吗?

 

Don't worry !! 这种气象不会生出, 看图:

 

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由图示易知, 因为表面sort和merge的参数顺序是相同的, 所以,无论递归进程中扶助数组和原数组的剧中人物怎么替换,对终极二回调用的merge来说(将全方位数组左右半边合为平稳的操作),   最终被排为有序的都以原数组,而不是支持数组!

 

 

全数代码:

 

/**
* @Author: HuWan Peng
* @Date Created in 9:44 2017/11/29
*/
public class MergeSort {
  private static int aux [];
  /**
   * @description: 1. 初始化辅助数组aux,使其和原数组元素完全相同
   *               2. 包装sort,向外只暴露一个数组参数
   */
  public static void sort(int a []){
    aux = a.clone(); // 拷贝一个和a所有元素相同的辅助数组
    sort(a,aux,0,a.length-1);
  }
  /**
   * @description: 基于递归的归并排序算法
   */
 
  private static void sort (int a[], int aux[], int low,int high) {
    if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件
    int mid =  low   (high - low)/2;  // 取得序列中间的元素
    sort(aux, a,low,mid);  // 对左半边递归
    sort(aux, a,mid 1,high);  // 对右半边递归
    merge(a, aux, low,mid,high);  // 单趟合并
  }
 
  /**
   * @description:  单趟合并算法
   * @param a 输入数组
   * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列,其中a[low...mid]和 a[mid 1...high]已有序
   */
  private static void merge (int a [],int aux [],int low,int mid,int high) {
    int i = low;    // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素
    int j = mid 1;  // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素
    // 这里的for循环拷贝已经去除掉了
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      if(i>mid){
        a[k] = aux[j  ]; // 左半边用尽
      }else if(j>high){
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边用尽
      }else if(aux[j]<aux[i]){
        a[k] = aux[j  ]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素, 取右半边元素
      }else {
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素,取左半边元素
      }
    }
  }
}

 

 

测试代码和输出结果同上文。

 

优化测试代码

立刻复制数组的办法】,提醒:点击碳灰字体查看方法详细的情况。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int length = 10000000;  // 千万数据量级别
        Integer[] arr = new Integer[length];
        Integer[] arr2 = new Integer[length];
        for (int index = 0; index < length; index  ) {
            arr[index] = new Random().nextInt(length)   1;
        }
        //高效复制数组的方法
        System.arraycopy(arr, 0, arr2, 0, arr.length);

        long start = System.currentTimeMillis();
        Merge.sort(arr);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("耗费时间:"   (end - start)   "ms");
        assert Merge.isSort(arr);

        start = System.currentTimeMillis();
        MergePlus.sort(arr2);
        end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("耗费时间:"   (end - start)   "ms");
        assert MergePlus.isSort(arr2);

    }

}
题目

当输入数组的大大小小 N=3九时,给来自顶向下和自底向上的集结排序中各次归并子数组的尺寸及各种。

快排普通版本
public class QuickInCLRS extends Example {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }
    private static void sort(Comparable[] a, int p, int r) {
        if (p < r) {
            int q = partition(a, p, r);
            sort(a, p, q - 1);
            sort(a, q   1, r);
        }
    }
    private static int partition(Comparable[] a, int p, int r) {
        Comparable x = a[r];
        int i = p - 1;
        for (int j = p; j <= r - 1; j  ) {
            if (less(a[j], x)) {
                i  ;
                exch(a, i, j);
            }
        }
        exch(a, i   1, r);
        return i   1;
    }
}

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quicksort普通版本

据书上说循环的会师排序(自底向上)

 

依靠循环的联结排序又称作自底向上的统1排序

 

优化测试结果

注意:优化结果纵然大多,不过当其数组邻近平稳的时候,速度有了冲天的升级换代。

相对品级数据量

只顾:编写翻译器默许不适用 assert 检查实验(可是junit测试中适用),所以要选取时要加上参数虚拟机运转参数-ea 具体增加进度,请参见eclipse 和 IDEA 设置虚拟机运维参数

解答

老是归并子数组的大大小小和种种如下:

自顶向下

2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 10, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 10, 20, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 10, 2, 3, 2, 5, 2, 2, 4, 9, 19, 39

自底向上

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 8, 8, 8, 8, 7, 16, 16, 32, 39

 

快排随机化版本

引进随机性,能够使算法对于具备的输入都能获得较好的盼望性能。在快排中应用轻便取样的随机化技巧——从子数组 A[p...r] 中放肆挑选多个因素作为主元。为此,能够将 A[r] 与从 A[p...r] 中私行行选购出的多个因素沟通来担保主元 x = A[r] 是等概率地从子数组的 r-p 1个成分中得到的。因为主元是随机选的,期望在平均意况下对输入数组的划分是比较平均的。

public class RandomQuickInCLRS extends QuickInCLRS {
    private static Random random = new Random();
    private static void sort(Comparable[] a, int p, int r) {
        if (p < r) {
            int q = randomPartition(a, p, r);
            sort(a, p, q - 1);
            sort(a, q   1, r);
        }
    }
    private static int randomPartition(Comparable[] a, int p, int r) {
        //随机选取主元,这里是获取其位置
        int j = random.nextInt(r)   p;
        //随机选出的主元与a[r]交换
        exch(a, j, r);
        return partition(a, p, r);
    }
}

循环归并的基本观念

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依靠循环的代码较为轻易,这里就非常的少废话了

 

/**
* @Author: HuWan Peng
* @Date Created in 23:42 2017/11/30
*/
public class MergeSort2 {
  private static int aux [];
 
  public static void sort(int a []){
    int N = a.length;
    aux = new int [N];
    for (int size =1; size<N;size = size size){
      for(int low =0;low<N-size;low =size size) {
        merge(a,low,low size-1,Math.min(low size size-1,N-1));
      }
    }
  }
 
  private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) {
    int i = low;    // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素
    int j = mid 1;  // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      aux[k] = a[k];
    }
    for(int k=low;k<=high;k  ){
      if(i>mid){
        a[k] = aux[j  ]; // 左半边用尽
      }else if(j>high){
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边用尽
      }else if(aux[j]<aux[i]){
        a[k] = aux[j  ]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素, 取右半边元素
      }else {
        a[k] = aux[i  ]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素,取左半边元素
      }
    }
  }
}

 

 

2.2.6

快排时间复杂度

  • 最坏情状:
    当划分发生的五个子难点分别包含了 n-一 个和 0 个成分时,划分时间复杂度为 O(n),因为对二个分寸为 0 的数组进行递归调用会直接回到,由此 T(0) = O(一),于是算法运转时刻的递归式为:T(n) = T(n-1) T(0) O(n) = T(n-一) O(n) = O(n^二)。其余,在输入数组完全有序时,快排时间复杂度仍为 O(n^2),而插入排序则为 O(n)。

  • 最佳状态:
    partition 获得的多少个子难点规模都不高于 n / 二,子难点规模分别为 n / 二和 n / 二 - 壹,此时算法运营时刻递归式为:T(n) = 二T(n / 二) O(n) = O(nlogn)。

  • 平衡的分开:
    快排平均运维时刻更近乎于最棒状态,而非最坏景况。如按 九:1划分,递归树如下:

![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/137261-3798eaf0d152bb7c.png)

quicksort递归树

只要划分是常数比例的,算法的运行时间总是 O(nlogn)。

循环归并的轨迹图像

(下图中的sz同地点的变量size)

 

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题目

编纂三个程序来总结自顶向下和自底向上的统一排序访问数组的高精度次数。
行使那些顺序将 N=一 至 51二 的结果绘成曲线图,并将其和上限 陆NlgN 绝相比。

随机化版本
解答

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粉末蓝是上限,蓝点是自顶向下,红点是自底向上。
鉴于三种排序访问数组的次数是同1的,由此蓝点和红点重合。

1.陆 优先队列

优先队列帮助剔除最大因素和插入成分。基于二叉堆的预先队列,是用数组保存成分并遵照一定条件排序,以贯彻神速地(对数等第)删除最大因素和插入成分。优先队列实际选择包括模拟系统、任务调治和数值总计等。

因此插入1列成分然后四个个删减当中的小小成分,就能够用事先队列完结排序算法。堆排序发源于依赖堆的先行队列的达成。

代码

交给绘图部分的代码:

using System;
using System.Windows.Forms;
using System.Drawing;
using Merge;

namespace _2._2._6
{
    /*
     * 2.2.6
     * 
     * 编写一个程序来计算自顶向下和自底向上的归并排序访问数组的准确次数。
     * 使用这个程序将 N=1 至 512 的结果绘成曲线图,
     * 并将其和上限 6NlgN 相比较。
     * 
     */
    static class Program
    {
        /// <summary>
        /// 应用程序的主入口点。
        /// </summary>
        [STAThread]
        static void Main()
        {
            Application.EnableVisualStyles();
            Application.SetCompatibleTextRenderingDefault(false);
            Compute();
            Application.Run(new Form1());
        }

        static void Compute()
        {
            MergeSort mergeSort = new MergeSort();
            MergeSortBU mergeSortBU = new MergeSortBU();
            int[] mergeResult = new int[10];
            int[] mergeResultBU = new int[10];
            int[] upperBound = new int[10];

            // 进行计算
            int dataSize = 1;
            for (int i = 0; i < 10; i  )
            {
                int[] dataMerge = SortCompare.GetRandomArrayInt(dataSize);
                int[] dataMergeBU = new int[dataSize];
                dataMerge.CopyTo(dataMergeBU, 0);

                mergeSort.ClearArrayVisitCount();
                mergeSortBU.ClearArrayVisitCount();
                mergeSort.Sort(dataMerge);
                mergeSortBU.Sort(dataMergeBU);

                mergeResult[i] = mergeSort.GetArrayVisitCount();
                mergeResultBU[i] = mergeSortBU.GetArrayVisitCount();
                upperBound[i] = (int)(6 * dataSize * Math.Log(dataSize, 2));

                dataSize *= 2;
            }

            // 绘图
            Form2 plot = new Form2();
            plot.Show();
            Graphics graphics = plot.CreateGraphics();

            // 获得绘图区矩形。
            RectangleF rect = plot.ClientRectangle;
            float unitX = rect.Width / 10;
            float unitY = rect.Width / 10;

            // 添加 10% 边距作为文字区域。
            RectangleF center = new RectangleF
                (rect.X   unitX, rect.Y   unitY,
                rect.Width - 2 * unitX, rect.Height - 2 * unitY);

            // 绘制坐标系。
            graphics.DrawLine(Pens.Black, center.Left, center.Top, center.Left, center.Bottom);
            graphics.DrawLine(Pens.Black, center.Left, center.Bottom, center.Right, center.Bottom);
            graphics.DrawString("28000", plot.Font, Brushes.Black, rect.Location);
            graphics.DrawString("1024", plot.Font, Brushes.Black, center.Right, center.Bottom);
            graphics.DrawString("0", plot.Font, Brushes.Black, rect.Left, center.Bottom);

            // 初始化点。
            PointF[] grayPoints = new PointF[10]; // 上限
            PointF[] redPoints = new PointF[10];  // 自顶向下
            PointF[] bluePoints = new PointF[10]; // 自底向上
            unitX = center.Width / 11.0f;
            unitY = center.Height / 28000.0f;

            for (int i = 0; i < 10; i  )
            {
                grayPoints[i] = new PointF(center.Left   unitX * (i   1), center.Bottom - (upperBound[i] * unitY) - 10);
                redPoints[i] = new PointF(center.Left   unitX * (i   1), center.Bottom - (mergeResult[i] * unitY) - 10);
                bluePoints[i] = new PointF(center.Left   unitX * (i   1), center.Bottom - (mergeResultBU[i] * unitY) - 10);
            }

            // 绘制点。
            for (int i = 0; i < 10; i  )
            {
                graphics.FillEllipse(Brushes.Gray, new RectangleF(grayPoints[i], new SizeF(10, 10)));
                graphics.FillEllipse(Brushes.Red, new RectangleF(redPoints[i], new SizeF(10, 10)));
                graphics.FillEllipse(Brushes.Blue, new RectangleF(bluePoints[i], new Size(10, 10)));
            }

            graphics.Dispose();
        }
    }
}

 

API

先行队列是壹种抽象数据类型,表示了一组值和那一个值的操作。优先队列最要害操作是剔除最轮廓素和插入成分,

public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>>
        MaxPQ()             //创建一个优先队列
        MaxPQ(int max)      //创建一个最大容量为 max 的优先队列
        MaxPQ(Key[] a)      //用a[]中的元素创建一个优先队列
        void insert(Key v)  //插入元素
        Key max()           //返回最大元素
        Key delMax()        //删除并返回最大元素
        boolean isEmpty()   //返回队列是否为空
        int size()          //返回优先队列中的元素个数

2.2.7

开始的一段时期队列的调用示例

三个事先队列的用例

public static void main(String[] args){
    //打印输入流中最大的M行
    int M = Integer.parseInt(args[0]);
    MinPQ<Transaction> pq = new MinPQ<Transaction>(M   1);
    while(StdIn.hasNextLine()){
        //为下一行输入创建一个元素并放入优先队列中
        pq.insert(new Transaction(StdIn.readLine()));
        //最大的M个元素都在优先队列中
        if(pq.size() > M){
            //若优先队列中存在M 1个元素则删除最小的元素
            pq.delMin();
        }
    }
    Stack<Transaction> stack = new Stack<Transaction>();
    while(!pq.isEmpty()){
        stack.push(pq.delMin());
    }
    for(Transaction t : stack){
        StdOut.println(t);
    }
}
题目

表达归并排序的相比次数是干瘪递增的(即对于 N>0,C(N ①)>C(N))。

起码达成

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从N个输入找到最大M个成分.png

解答

基于书本给出的命题 G 和命题 H(汉语版 P173/17陆,英文版 P275/27九),
相比次数的下限 C(N) = 二分一 * NlgN
N 和 lgN 都以单调递增且超越零的(N>1),由此 C(N) 也是干燥递增的

 

堆的概念

在2叉堆数组中,每一种成分都要保管大于等于另多个特定岗位的要素。相应地,那一个职责成分又至少超越等于数组中另四个因素。
堆有序:1棵2叉树的每一种结点都高于等于它的两个子结点,根结点是堆有序的贰叉树中的最大结点。

2.2.8

二叉堆表示法

若用指针表示堆有序的2叉树,则各类成分都需四个指针来找它的父节点和八个子节点。但若用完全2叉树,则可只用数组而不需指针。具体方法是将2叉树的节点按层级顺序放入数组,根节点在岗位一,其子节点在职责二和3,而子节点的子节点分别在职位4,、5、六和7。

二叉堆是一组能用堆有序的一心贰叉树排序的要素,并在数组中按层级存款和储蓄(不用数组第2个地方)

在四个堆(后文都指2叉堆),地方 k 的节点的父节点在 $lfloorfrac{k}{2}rfloor$,五个子节点分别为 二k 和 2k 1。

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堆的表示

一棵大小为 N 的一心二叉树的冲天为 $lfloor logNrfloor$

题目

假使将算法 二.四 修改为:
只要 a[mid] <= a[mid 1] 就不调用 merge() 方法,
请表明用归并排序管理三个已经稳步的数组所需的相比较次数是线性等第的。

堆的算法

堆达成的比较和置换方法:

private boolean less(int i, int j){
    return pq[i].compareTo(pa[j]) < 0;
}
private void exch(int i, int j){
    Key t = pq[i];
    pq[i] = pq[j];
    pq[j] = t;
}
解答

修改后的算法对曾经平稳的事态做了优化
数组对半切分并排序后,
如果 a[mid] < a[mid 1](左半局部的最终2个要素小于右半部分的率先个要素)
那么大家能够直接统一数组,无需再做多余的操作

近期的输入是2个业已排序的数组
算法唯一的相比较发生在认清 a[mid] < a[mid 1] 那些规范时
只要数组有 N 个成分
比较次数满意 T(N) = 二 * T(N / 2) 1, T(1) = 0
中间转播为非递归方式即为:T(N) = cN / 二 N - 1
其间 c 为专断正整数

 

由下至上的堆有序化(上浮)

若堆的有动静因有些节点变得比它的父节点更加大而被打破,则需通过交流它和它的父节点来修补堆。交流后,该节点比它的七个子节点都大。重复该进程,直到遇见越来越大的父节点。

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上浮

private void swim(int k){
    while(k > 1 && less(k/2, k)){
        exch(k/2, k);
        k = k/2;
    }
}

2.2.9

由上至下的堆有序化(下沉)

若堆的稳步状态因某些节点比它的四个子节点或内部之1越来越小而被打破,则可经过将它和它的七个子节点不小者调换到恢复生机堆。重复该进程,直到它的子节点都比它越来越小或达到了堆的尾部。

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下沉

private void sink(int k){
    while(2*k <= N){
        int j = 2*k;
        if(j < N && less(j, j 1)){
            j  ;
        }
        if(!less(k, j)){
            break;
        }
        exch(k, j);
        k = j;
    }
}

插入成分:将新成分加到数组末尾,增添堆的大小并让该新元素上浮到适合岗位。

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插入成分

剔除最大因素:从数组顶上部分删去最大的因素并将数组的最后2个要素放到顶部,减小堆的轻重缓急并让那些成分下沉到合适岗位。

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删去最大因素

  • 听闻堆的初期队列
public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {
    /**
     * 基于堆的完全二叉树
     */
    private Key[] pq;
    /**
     * 存储于pq[1...N]中,pq[0]没有使用
     */
    private int N = 0;
    public MaxPQ(int maxN) {
        pq = (Key[]) new Comparable[maxN   1];
    }
    public boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }
    public int size() {
        return N;
    }
    public void insert(Key v) {
        pq[  N] = v;
        swim(N);
    }
    public Key delMax() {
        //从根节点得到最大元素
        Key max = pq[1];
        //pq[1] = pq[N--];
        //将其和最后一个节点交换
        exch(1, N--);
        //防止越界
        pq[N   1] = null;
        sink(1);
        return max;
    }
    private boolean less(int i, int j) {
        return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
    }
    private void exch(int i, int j) {
        Key t = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = t;
    }
    private void swim(int k) {
        while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
            exch(k / 2, k);
            k = k / 2;
        }
    }
    private void sink(int k) {
        while (2 * k <= N) {
            int j = 2 * k;
            if (j < N && less(j, j   1)) {
                j  ;
            }
            if (!less(k, j)) {
                break;
            }
            exch(k, j);
            k = j;
        }
    }
    private void show(){
        Stack<Key> stack = new Stack<>();
        while(!isEmpty()){
            stack.push(delMax());
        }
        for(Key t : stack){
            System.out.println(t);
        }
    }
     public static void main(String[] args) {
//        int[] a = new int[]{1,100,1,1, 26, 1,100,13, 27, 49, 55, 4};
        int[] a = new int[]{ 2 ,8, 2, 4, 3, 5, 2, 4};
         MaxPQ<Integer> maxPQ =  new MaxPQ<>(a.length);
         for (int i = 0; i < a.length; i  ) {
            maxPQ.insert(a[i]);
         }
         maxPQ.show();
    }
}

命题:对于多个富含 N 个因素的依照堆的预先队列,插入成分操作只需不超过 lgN 1次相比,删除最大因素操作急需不超过 2lgN 次相比较。

表明:三种操作都急需在根节点和堆底之间活动成分,而路径长度不当先lgN。对于路线上的种种节点,删除最大因素亟待两遍相比(除了堆底成分),二遍用来找寻比较大的子节点,叁次用来规定该子节点是或不是须求上浮。

题目

在库函数中央银行使 aux[] 那样的静态数组时不伏贴的,
因为恐怕会有多个程序同不常候选拔那些类。
完结一个绝不静态数组的 Merge 类,
但也毫不将 aux[] 变为 merge() 的有的变量(请见本书的回答部分)。
唤醒:能够将救助数组作为参数字传送递给递归的 sort() 方法。

多叉堆

全然叁叉堆:对于数组中一至 N 的 N 个成分,地方 k 的节点大于等于位于 三k-1、三k 和 三k 一 的节点,小于等于位于 (k 1) / 叁的节点。供给在树高 log_d(N) 和在每一个节点的 d 个子节点找到最大者的代价之间找到折中,那有赖于达成细节以及区别操作的预想相对频仍程度。

解答

官方给出的集结排序达成中在 Sort 方法里早先化了 aux 数组。
源码见:

C#落到实处和官方的贯彻充裕相近,

首先定义只接受五个参数的公开 Sort 方法,在这一个形式里面初叶化 aux 数组。

/// <summary>
/// 利用归并排序将数组按升序排序。
/// </summary>
/// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
/// <param name="a">待排序的数组。</param>
public override void Sort<T>(T[] a)
{
    T[] aux = new T[a.Length];
    Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
}

接下来创建三个私有的递归 Sort 方法抓牢际的排序操作。

/// <summary>
/// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
/// </summary>
/// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
/// <param name="a">原数组。</param>
/// <param name="aux">辅助数组。</param>
/// <param name="lo">排序范围起点。</param>
/// <param name="hi">排序范围终点。</param>
private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
{
    if (hi <= lo)
        return;
    int mid = lo   (hi - lo) / 2;
    Sort(a, aux, lo, mid);
    Sort(a, aux, mid   1, hi);
    Merge(a, aux, lo, mid, hi);
}
调节数组大小

加上1个尚无参数的构造函数,在 insert() 中增添将数首席营业官度加倍的代码,在 delMax() 中加多将数主管度减半的代码。

代码
using System;

namespace Merge
{
    /// <summary>
    /// 归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSort : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSort() { }

        /// <summary>
        /// 利用归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];
            Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)
                return;
            int mid = lo   (hi - lo) / 2;
            Sort(a, aux, lo, mid);
            Sort(a, aux, mid   1, hi);
            Merge(a, aux, lo, mid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }
    }
}

 

堆排序

能够把自由优先队列产生一种排序方法,将富有因素插入1个物色最小成分的先行队列,然后再另行调用删去最小元素的操作按梯次删除。用冬天数组完成优先队列这么做一定于实行一次插入排序,用堆达成获得堆排序。堆排序分多个级次:

  • 堆的布局:将原始数组重新组织布署进三个堆中。
  • 下沉排序:从堆中按递减顺序抽出全部因素并获取排序结果。

2.2.10

堆的组织

连日向优先队列插入成分可行,但更敏捷的点子是从右到左用 sink() 函数构造子堆。数组每种地方都已经是3个子堆的根节点了,sink() 对于那么些子堆也适用。若2个节点的多少个子节点都已经是堆了,则在该节点上调用 sink() 可将它们成为1个堆。开首时只需扫描数组中八分之四要素,因为能够跳过大小为一的子堆。最终在岗位一上调用 sink() 方法,扫描甘休。在排序第一阶段,堆的构造方法和大家不识不知想象的不及,因为我们指标是构造两个堆有序的数组并使最大因素位于数组的开首(次大的元素在隔壁)而非构造函数停止的尾声。

用下沉操作由 N 个因素构造堆只需少于 二N 次比较以及个别 N 次调换

题目

快快归并。
落实3个 merge() 方法,按降序将 a[] 的后半部分复制到 aux[],
下一场将其归并回 a[] 中。那样就足以去掉内循环中检查实验某半边是还是不是用尽的代码。
专注:那样的排序发生的结果是不稳固的(请见 二.5.一.8 节)。

下沉排序

将堆中最大因素删除,然后放入堆减弱后数组中空出的任务,该进程和抉择排序类似(按降序而非升序收取全体因素),但因为堆提供了壹种未有排序部分找到最大意素的有效措施,所需相比次数少得多。

澳门新萄京官方网站 52

堆的构造和下沉排序

public static void sort(Comparable[] a){
    //构造堆
    int N = a.length;
    for(int k = N/2; k >= 1; k--){
        sink(a, k, N);
    }
    //下沉排序
    while(N > 1){
        exch(a, 1, N--);
        sink(a, 1, N);
    }
}

将N个要素排序,堆排序只需少于 二NlgN 二N 次相比(以及10分之柒次数的交流),2N 项来自于堆的协会,二NlgN 来自于每一回下沉操作最大或许需求 2lgN 次相比。

解答

法定同样给出了 java 完结,如下:

private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) { 
   for (int i = lo; i <= mid; i  )
      aux[i] = a[i]; 

   for (int j = mid 1; j <= hi; j  )
      aux[j] = a[hi-j mid 1];

   int i = lo, j = hi; 
   for (int k = lo; k <= hi; k  ) 
      if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j--];
      else                      a[k] = aux[i  ];
}

C# 完结见代码部分。

精耕细作:先下沉后上浮

绝大多数在下沉排序时期重新插入堆的因素会被一贯投入堆底。Floyd 1九陆4年开掘能够因此免去检查成分是还是不是达到正确地点来节省时间。在下沉中接2连3直接提高十分的大的子节点直至达到堆底,然后再使元素上浮到科学地方,那样能够将比较次数减弱1/二——临近了归并排序所需相比次数(随机数组)。该办法需额外层空间间,由此实际利用中只有当相比较操作代价比较高时才用(比如:将字符串或其余键值较长类型的要素排序时)。

堆排序在排序复杂性钻探中有重大地方,因为它是唯壹能同一时候最优地利用空间和岁月的方法——最坏意况下能担保使用 ~2NlgN 次比较和牢固的附加空间。当空间十一分不安时(如嵌入式系统或低本钱移动设备)很盛行,因为它只用几行就能够兑现较好的特性(乃至机器码也是)。但当代种类十分的少用,因为它没辙运用缓存。数组成分没多少和隔壁的任何成分相比,因此缓存未命中的次数要远不仅大多数比较都在周边成分间开始展览的算法,如快排、归并排序、甚至是希尔排序。

在大数据量下,要拍卖 TopK 和 Multiway 难点,不可能排序(或非常小概全装进内部存款和储蓄器),如 10 亿成分中选最大 10个,则只用1个能储存十一个因素的行列就可以。

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._10
{
    /// <summary>
    /// 归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSort : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSort() { }

        /// <summary>
        /// 利用归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];
            Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)
                return;
            int mid = lo   (hi - lo) / 2;
            Sort(a, aux, lo, mid);
            Sort(a, aux, mid   1, hi);
            Merge(a, aux, lo, mid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            // 前半部分升序复制
            for (int k = lo; k <= mid; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }
            // 后半部分降序复制
            for (int k = mid   1; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[hi - k   mid   1];
            }

            // i 指向最左端,j 指向最右端
            int i = lo, j = hi;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j--;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }
    }
}

 

一.7 排序算法和先行队列的采取

2.2.11

将各类数据排序

近期完结的排序对象是由实现了Comparable接口的指标组成的数组,那样能够利用 Java 的回调机制将随便完结了 Comparable接口的数据类型排序。完结Comparable接口只需定义3个compareTo()函数并在其间定义该数据类型的尺寸关系。Java 中的 String、Integer、Double、File 和 URL都落到实处了Comparable接口。

题目

改进。
兑现 二.二.2 节所述的对归并排序的三项改良:
加速小数组的排序速度,
检查测试数组是还是不是早已平稳以及经过在递归中沟通参数来幸免复制。

指南针排序

日前使用的主意被称作指南针排序,因为只管理成分的引用而不挪窝多少自身。在C/C 中,须要显明建议操作的是数据依旧指向数据的指针,在 Java 中,指针的操作是隐式的。除了原有数字类型外,操作的连年数据的引用(指针)而非数据自身。

解答

法定实现见:

在 MergeSortX 类里增加二个 CUTOFF 字段,排序时即便数高管度小于它则一贯调用插入排序进行排序。

在调用归并措施前判别第3个有序数组的最后贰个要素是不是超越第二个有序数组的率先个成分,
比方越过的话就不须要调用归并了,直接首尾相接就能够。

老是归并都亟需多少个数组,3个用于存放归并结果,那几个数组中的内容是无所谓的;
另三个则保留了归并前的数组,用于实际的联合进程。
归并停止后,前贰个数组形成归并后的有序结果(约等于下一回归并时的「归并前数组」),后二个数组中的内容则不再灵光。
大家能够看看那多少个数组的剧中人物在下一遍归并时正好能够交流。

要留意的是,归并次数两次三番三个奇数(左边归并 右边归并 总归并),由此在首先次调用 Sort 方法时应当把 aux 和 a 交流传入。

不可变的键

若排序后用例还是能改改键值,那么数组就不再有序了。Java 中可用不可变数据类型作为键来幸免该难点,如String、Integer、Double和 File 都以不可变的。

代码
using System;

namespace Merge
{
    /// <summary>
    /// 优化后的归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSortX : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 对小于 CUTOFF 的数组使用插入排序。
        /// </summary>
        private static int CUTOFF = 7;

        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortX() { }

        /// <summary>
        /// 设置启用插入排序的阈值,小于该阈值的数组将采用插入排序。
        /// </summary>
        /// <param name="cutoff">新的阈值。</param>
        public void SetCutOff(int cutoff) => CUTOFF = cutoff;

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="src">原始数组。</param>
        /// <param name="dst">目标数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] src, T[] dst, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                    dst[k] = src[j  ];
                else if (j > hi)
                    dst[k] = src[i  ];
                else if (Less(src[j], src[i]))
                    dst[k] = src[j  ];
                else
                    dst[k] = src[i  ];
            }
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="src">原数组。</param>
        /// <param name="dst">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] src, T[] dst, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            // 小于 CUTOFF 的数组调用插入排序
            if (hi <= lo   CUTOFF)
            {
                InsertionSort insertion = new InsertionSort();
                insertion.Sort(dst, lo, hi);
                return;
            }
            int mid = lo   (hi - lo) / 2;
            // 交换辅助数组和原数组
            Sort(dst, src, lo, mid);
            Sort(dst, src, mid   1, hi);
            // 已排序的数组直接合并
            if (!Less(src[mid   1], src[mid]))
            {
                Array.Copy(src, lo, dst, lo, hi - lo   1);
                return;
            }
            Merge(src, dst, lo, mid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 利用优化后的归并排序对数组 a 排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组中的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">需要排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];
            a.CopyTo(aux, 0);
            // aux 和 a 需要交换
            Sort(aux, a, 0, a.Length - 1);
        }
    }
}

 

优惠的置换

选拔引用另三个功利是可以不必移动整个因素。对于成分大而键小的数组来讲节约是高大的,因为正如只需访问成分一小部分,而排序进度大多数要素都不会被访问到。对于大致大四大小的因素,引用在相似情形下调换花费和相比较费用差不离一致(代价是须求额外层空间间存储引用)。

2.2.12

多样排序方法

Java 的 Comparator 接口允许在三个类中落到实处二种排序方法。它只有二个 compare() 方法来相比七个目的,用 Comparator 接口代替Comparable接口能够将数据类型定义和五个该数据类型的相比的定义区分开。比如 Insertion.sort(a, String.CASE_INSENSITIVE_ORDER),对 Transaction 对象数组按期间排序 Insertion.sort(a, new Transaction.WhenOrder()),按金额排序 Insertion.sort(a, new Transaction.HowMuchOrder()) 等。sort() 方法每一遍都会回调 Transaction 类中的用例钦定的 compare() 方法,为制止每回排序都创设新的 Comparator 对象,使用 public final 来定义这一个相比较器(就像是使用 String.CASE_INSENSITIVE_ORDER 一样)

public static void sort(Object[] a, Comparator c){
    int N = a.length;
    for(int i = 1; i < N; i  ){
        for(int j  = i; j > 0 && less(c, a[j], a[j-1]);j--){
            exch(a, j, j-1);
        }
    }
}
private static boolean less(Comparator c, Object v, Object w){
    return c.compare(v, w) < 0;
}
private static void exch(Object[] a, int i, int j){
    Object t = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = t;
}
题目

次线性的附加空间。用大小 M 的数组分为 N/M 块(轻便起见,设 M 是 N 的约数)。
福寿康宁三个联结措施,使之所需的额外空间缩短到 max(M, N/M):
(i)能够先将三个块看作3个要素,将块的第一个成分作为块的主键,用选取排序将块排序;
(ii)遍历数组,将首先块和第一块归并,实现后将第一块和第三块归并,等等。

应用相比较器完成优先队列
  • 为 马克斯PQ 增多三个实例变量 comparator 以及二个构造函数,该构造函数接受八个比较器作为参数并用它将 comparator 开始化。
  • 在 less() 中检查 comparator 属性是不是为 null(假设不是就用它相比较)

选取了 Comparator 的插入排序:

public class Transaction{
    private final String who;
    private final Date when;
    private final Double amount;
    public static class WhoOrder implements Comparator<Transaction>{
        public int compare(Transaction v, Transaction w){
            return v.who.compareTo(w.who);
        }
    }
    public static class WhenOrder implements Comparator<Transaction>{
        public int compare(Transaction v, Transaction w){
            return v.when.compareTo(w.when);
        }
    }
    public static class HowMuchOrder implements Comparator<Transaction>{
        public int compare(Transaction v, Transaction w){
            if(v.amount < w.amount) return -1;
            if(v.amount > w.amount) return 1;
            return 0;
        }
    }
}
解答

汉语版的翻译相比较难理解
其实就是另1种归并排序的兑现格局
先把数组分成若干个轻重为 M 的块
对此每一个块,用采用排序举办排序
紧接着遍历数组,将依次块归并起来

稳定性

若贰个排序算法能保留数组中另行成分的相持地方则可被誉为稳定的。壹部分算法是平稳的——澳门新萄京官方网站:归并排序算法的编码和优化,归并排序及其优化。插入排序和联合排序,但慎选排序、希尔排序、连忙排序和堆排序不稳定。

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._12
{
    /// <summary>
    /// 归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSort : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSort() { }

        /// <summary>
        /// 利用归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            Sort(a, 1);
        }

        /// <summary>
        /// 利用分块法进行归并排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">待排序的数组内容。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        /// <param name="M">分块大小。</param>
        public void Sort<T>(T[] a, int M) where T : IComparable<T>
        {
            int blockNum = a.Length / M;
            SelectionSort selection = new SelectionSort();
            // 对块进行选择排序。
            for (int i = 0; i < blockNum; i  )
            {
                int lo = i * M;
                int hi = (i   1) * M - 1;
                selection.Sort(a, lo, hi);
            }
            // 将各个块合并。
            for (int i = 0; i < blockNum - 1; i  )
            {
                Merge(a, 0, (i   1) * M - 1, (i   2) * M - 1);
            }
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            T[] aux = new T[hi - lo   1];
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }
    }
}

 

该用哪一种排序

澳门新萄京官方网站 53

各类排序算法的性质特点

快排是最快的通用排序算法

2.2.13

难点规约

在运用化解难点 B 的点子来缓慢解决难点 A 时,都在将 A 规约为 B。

题目

平均情形的下限。请证实自由基于相比的排序算法的料想比较次数最少为 ~NlogN(假使输入成分的享有排列的面世可能率是均等的)。
唤醒:相比较次数至少是相比较树的表面路线的长度(根结点到叶子结点的门径长度之和),当树平衡时该值最小。

找寻双重元素

在二个 Comparable 对象的数组中是否存在重复成分?有稍许重复成分?哪个值出现最频繁?

通过两两比较能够在平方等第化解,但经过排序可在线性对数时间内化解。

Quick.sort(a);
int count = 1;
for(int i = 1; i < a.length; i  ){
    if(a[i].compareTo(a[i-1])!=0){
        count  ;
    }
}
解答

借使对八个数举行排序,那么些数是:35,十,一七
多少个数排序的决策树如下,结点代表相比较对应地点上的数。
澳门新萄京官方网站 54
对于 3⑤,拾,壹7 来讲,路线服从右、左、左,最终获得的结果正是 二 3 壹(10,壹柒,35)。
小编们能够发掘决策树上的每三个卡片节点都意味着一种排列顺序,对于 N 个数,叶子节点就有 N! 个
好玩的事二叉树的属性,中度为 h 的2叉树最多有 二^h 个叶子节点
那么,对于 N 个数,决策树的万丈 h 的最小值可以通过上面那几个姿势得出去
2^h >= n!
h >= log(n!)
故此得以博得决策树高度 h 的最小值是 log(n!)

接下去大家来计算平均路线长度
我们令函数 H(k) 代表有 k 个叶子节点的平衡决策树的装有路子长度之和
上例中 H(6) = 2 2 3 3 3 3 = 16
由于平衡决策树的习性,H(k) = 贰H(k / 二) k
(加上 k 的因由:左右子树的万丈比全体树的万丈小 ①,因而每条路径的长度都必须加 壹,总共多加了 k 次)
因此 H(k) = klogk
现在令 k = n!
H(n!) = n!log(n!)
出于每一遍排序时我们只透过某一条门路(上例中大家只透过了右、左、左那条渠道)
同有的时候候每一个渠道的面世概率相等
于是平均比较次数应当为 H(n!) / n! = log(n!) = nlog(n)
证实完结

 

排名

逆序对数难点

2.2.14

中位数与各种计算

三个和排序有关但又无需完全的首要应用正是找寻1组成分的中位数,有壹种特别选取:找到一组数中第 k 小的因素。通过后边的 TopM 难点用事先队列能够化解,或许排序后获得第 k 个要素也足以缓慢解决,但都以线性对数时间。实际上,当 k 非常小或一点都不小时能够在线性时间找到:

public static Comparable select(Comparable[] a, int k){
    StdRandom.suhffle(a);
    int lo = 0, hi = a.length - 1;
    while(hi > lo){
        int j = partition(a, lo, hi);
        if(j == k){
            return a[k];
        }else if(j > k){
            hi = j - 1;
        }else{
            lo = j   1;
        }
    }
    return a[k];
}

源源不断切分知道子数组只包蕴第 k 个成分,此时 a[k] 含有纤维的(k 壹)个元素,a[0] 到 a[k-1] 都小于等于 a[k],而 a[k 1] 及其后的因素都跨越等于 a[k]。若是每一次都正好将数组二分,则比较总次数是(N N/二 N/肆 ...)直到找到第 k 个成分,依照等比数列求和公式该和肯定低于 贰N。

平均来说,基于切分的选项算法运维时刻是线性等第的。

本篇介绍的算法的完好代码地址:
代码地址

以下是可供参谋的博客:
种种排序算法时间复杂度
面试中的排序算法总括
捌大排序算法
不能够不精晓的8大种排序算法【java实现】
坐在马桶上看算法:飞快排序

题目

归并一如未来的类别。
编纂1个静态方法,将三个静止的种类作为参数,重临四个集合后的不改变队列。

解答

正如八个静止队列的首先个因素,取很小的一个出队并放入额外创立的队列中。
再一次上述手续直到五个连串都为空。

代码
/// <summary>
/// 归并两个有序队列。输入队列将被清空。
/// </summary>
/// <typeparam name="T">有序队列的元素类型。</typeparam>
/// <param name="a">需要归并的队列。</param>
/// <param name="b">需要归并的队列。</param>
/// <returns>归并后的新队列。</returns>
static Queue<T> Merge<T>(Queue<T> a, Queue<T> b) where T : IComparable<T>
{
    Queue<T> sortedQueue = new Queue<T>();
    while (!a.IsEmpty() && !b.IsEmpty())
    {
        if (a.Peek().CompareTo(b.Peek()) < 0)
            sortedQueue.Enqueue(a.Dequeue());
        else
            sortedQueue.Enqueue(b.Dequeue());
    }

    while (!a.IsEmpty())
        sortedQueue.Enqueue(a.Dequeue());
    while (!b.IsEmpty())
        sortedQueue.Enqueue(b.Dequeue());

    return sortedQueue;
}

 

2.2.15

题目

自底向上的稳步队列归并排序。
用上面包车型地铁点子编写三个自底向上的统壹排序:
给定 N 个因素,成立 N 个种类,种种队列包涵个中一个成分。
创设二个由这 N 个类别组成的体系,然后不断用演练 二.二.1四中的方法将队列的头八个要素归并,
并将结果重新插手到行列结尾,直到队列的队列只剩余3个成分结束。

解答

程序思路标题已经交由,遵照题意完结就能够。
Merge 方法能够平素利用前一题的贯彻。

代码
using System;

namespace _2._2._15
{
    /// <summary>
    /// 利用队列归并实现的自底向上的归并排序。
    /// </summary>
    class MergeSortQueue
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortQueue() { }

        /// <summary>
        /// 利用队列归并进行自底向上的归并排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">需要排序的数组。</param>
        public void Sort<T>(T[] a) where T : IComparable<T>
        {
            Queue<Queue<T>> queueList = new Queue<Queue<T>>();
            for (int i = 0; i < a.Length; i  )
            {
                Queue<T> temp = new Queue<T>();
                temp.Enqueue(a[i]);
                queueList.Enqueue(temp);
            }

            while (queueList.Size() != 1)
            {
                int times = queueList.Size() / 2;
                for (int i = 0; i < times; i  )
                {
                    Queue<T> A = queueList.Dequeue();
                    Queue<T> B = queueList.Dequeue();
                    queueList.Enqueue(Merge(A, B));
                }
            }

            Queue<T> result = queueList.Dequeue();
            for (int i = 0; i < a.Length; i  )
            {
                a[i] = result.Dequeue();
            }
        }

        /// <summary>
        /// 归并两个有序队列。输入队列将被清空。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">有序队列的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">需要归并的队列。</param>
        /// <param name="b">需要归并的队列。</param>
        /// <returns>归并后的新队列。</returns>
        public static Queue<T> Merge<T>(Queue<T> a, Queue<T> b) where T : IComparable<T>
        {
            Queue<T> sortedQueue = new Queue<T>();
            while (!a.IsEmpty() && !b.IsEmpty())
            {
                if (a.Peek().CompareTo(b.Peek()) < 0)
                    sortedQueue.Enqueue(a.Dequeue());
                else
                    sortedQueue.Enqueue(b.Dequeue());
            }

            while (!a.IsEmpty())
                sortedQueue.Enqueue(a.Dequeue());
            while (!b.IsEmpty())
                sortedQueue.Enqueue(b.Dequeue());

            return sortedQueue;
        }
    }
}

 

2.2.16

题目

当然的联合排序。
编排四个自底向上的统1排序,当需求将多少个子数组排序时可以使用数组中曾经稳步的有个别。
先是找到贰个不改变的子数组(移动指针直到近些日子因素比上三个要素小截止),
下一场再找出另1个并将它们归并。
基于数组大小和数组中递增子数组的最大尺寸解析算法的周转时刻。

解答

本来归并排序的多少个示范如下图所示:

澳门新萄京官方网站 55
主旨历程和自底向上的统一排序类似,只是每一回归并的块大小不分明一样。

时光分析

澳门新萄京官方网站 56

随着有序块的变大,排序耗费时间会裁减,但加强的数量级会变高(归并的平均块大小变大了)。

代码
using System;
using System.Diagnostics;

namespace Merge
{
    /// <summary>
    /// 自然的归并排序。
    /// </summary>
    public class MergeSortNatural : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortNatural() { }

        /// <summary>
        /// 利用自然的归并排序进行自底向上的排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">用于排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">需要排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];

            while (true)
            {
                // 找到第一个块
                int lo = 0;
                int mid = FindBlock(lo, a) - 1;
                if (mid == a.Length - 1)
                    break;

                while (mid < a.Length - 1)
                {
                    int hi = FindBlock(mid   1, a)   mid;
                    Merge(lo, mid, hi, a, aux);
                    lo = hi   1;
                    mid = FindBlock(lo, a)   lo - 1;
                }
            }
            Debug.Assert(IsSorted(a));
        }

        /// <summary>
        /// 将两个块归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">第一个块的开始下标。</param>
        /// <param name="mid">第一个块的结束下标(第二个块的开始下标 - 1)。</param>
        /// <param name="hi">第二个块的结束下标。</param>
        /// <param name="a">需要归并的数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        private void Merge<T>(int lo, int mid, int hi, T[] a, T[] aux) where T : IComparable<T>
        {
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }

        /// <summary>
        /// 获取下一个有序块。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">查找起点。</param>
        /// <param name="a">用于查找的数组。</param>
        /// <returns>块的大小。</returns>
        private int FindBlock<T>(int lo, T[] a) where T : IComparable<T>
        {
            int size = 1;
            for (int i = lo; i < a.Length - 1; i  )
            {
                if (Less(a[i], a[i   1]) || a[i].Equals(a[i   1]))
                    size  ;
                else
                    break;
            }
            return size;
        }
    }
}

 

2.2.17

题目

链表排序。
完毕对链表的自然排序
(那是将链表排序的最棒措施,因为它没有供给额外的半空中且运转时刻是线性对数品级的)。

解答

排序格局和 二.二.1陆 十分像样,不再赘言,这里介绍一下归并方法。
澳门新萄京官方网站 57
如 gif 图所示,先把要联合的八个链表拆出来,随后鲜明表头地方,然后开始展览合并就能够。
归并终止后回到 first。

结果深入分析如下图所示:
澳门新萄京官方网站 58
乘机有序部分的加码,对于同样大小的数组自然归并排序的耗费时间会减弱。
对于有序部分雷同的情事,随着数组大小的倍增,耗费时间显示了O(nlogn)的来头。

代码
using System;
using System.Diagnostics;
using Merge;

namespace _2._2._17
{
    /// <summary>
    /// 自然的归并排序。
    /// </summary>
    public class MergeSortNatural : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortNatural() { }

        /// <summary>
        /// 利用自然的归并排序进行自底向上的排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">用于排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">需要排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];

            while (true)
            {
                // 找到第一个块
                int lo = 0;
                int mid = FindBlock(lo, a) - 1;
                if (mid == a.Length - 1)
                    break;

                while (mid < a.Length - 1)
                {
                    int hi = FindBlock(mid   1, a)   mid;
                    Merge(lo, mid, hi, a, aux);
                    lo = hi   1;
                    mid = FindBlock(lo, a)   lo;
                }
            }
            Debug.Assert(IsSorted(a));
        }

        /// <summary>
        /// 利用自然的归并排序将链表排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">等待排序的链表。</param>
        public void Sort<T>(LinkedList<T> a) where T : IComparable<T>
        {
            while (true)
            {
                // 找到第一个块
                Node<T> lo = a.GetFirst();
                Node<T> mid = FindBlock(lo);

                if (mid.next == null)
                    break;

                while (mid.next != null)
                {
                    Node<T> hi = FindBlock(mid.next);
                    if (lo == a.GetFirst())
                        a.SetFirst(Merge(lo, mid, hi));
                    else
                        lo.next = Merge(lo.next, mid, hi);

                    // 跳到表尾
                    if (Less(hi.item, mid.item))
                        lo = mid;
                    else
                        lo = hi;

                    if (lo.next != null)
                        mid = FindBlock(lo.next);
                }
            }
        }

        /// <summary>
        /// 将两个块归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">第一个块的开始下标。</param>
        /// <param name="mid">第一个块的结束下标(第二个块的开始下标 - 1)。</param>
        /// <param name="hi">第二个块的结束下标。</param>
        /// <param name="a">需要归并的数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        private void Merge<T>(int lo, int mid, int hi, T[] a, T[] aux) where T : IComparable<T>
        {
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }

        /// <summary>
        /// 将两个有序链表块归并,返回新的表头。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">第一个有序块起点。</param>
        /// <param name="mid">第一个有序块终点(第二个有序块起点的前驱)。</param>
        /// <param name="hi">第二个有序块的终点。</param>
        /// <returns>新的表头。</returns>
        private Node<T> Merge<T>(Node<T> lo, Node<T> mid, Node<T> hi) where T : IComparable<T>
        {
            Node<T> after = hi.next; // 要合并的两个块之后的元素
            Node<T> first = null;
            Node<T> i = lo;          // 链表1
            Node<T> j = mid.next;    // 链表2

            // 切割链表
            mid.next = null;
            hi.next = null;

            Node<T> current = null;
            // 决定新的表头
            if (Less(i.item, j.item))
            {
                current = i;
                i = i.next;
            }
            else
            {
                current = j;
                j = j.next;
            }

            first = current;

            // 归并表
            while (i != null && j != null)
            {
                if (Less(i.item, j.item))
                {
                    current.next = i;
                    i = i.next;
                    current = current.next;
                }
                else
                {
                    current.next = j;
                    j = j.next;
                    current = current.next;
                }
            }

            if (i == null)
                current.next = j;
            else
                current.next = i;

            // 连接表尾(链表 1 的尾部或者链表 2 的尾部)
            if (mid.next == null)
                mid.next = after;
            else
                hi.next = after;

            return first;
        }

        /// <summary>
        /// 获取下一个有序块。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">查找起点。</param>
        /// <param name="a">用于查找的数组。</param>
        /// <returns>块的大小。</returns>
        private int FindBlock<T>(int lo, T[] a) where T : IComparable<T>
        {
            int size = 1;
            for (int i = lo; i < a.Length - 1; i  )
            {
                if (Less(a[i], a[i   1]) || a[i].Equals(a[i   1]))
                    size  ;
                else
                    break;
            }
            return size;
        }

        /// <summary>
        /// 获取链表的下一个有序块。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">查找的起始结点。</param>
        /// <returns>有序块的最后一个元素结点。</returns>
        private Node<T> FindBlock<T>(Node<T> lo) where T : IComparable<T>
        {
            Node<T> hi = lo;
            while (hi.next != null)
            {
                if (Less(hi.item, hi.next.item) || hi.item.Equals(hi.next.item))
                    hi = hi.next;
                else
                    break;
            }
            return hi;
        }
    }
}

 

2.2.18

题目

打乱链表。
兑现二个分治算法,使用线性对数级其余时日和对数级其余附加空间随便打乱一条链表。

解答

能够在用归并排序的秘诀做。
将归并时取两边十分小的因素改为随机取1侧的值,就能够达成打乱的功效。
算法的深入分析和常见归并排序1致,满足标题须要。

代码

分治法打乱链表的贯彻。

using System;

namespace _2._2._18
{
    /// <summary>
    /// 分治法打乱链表。

/// </summary>
    public class MergeShuffle
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeShuffle() { }

        /// <summary>
        /// 利用分治法打乱链表。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">等待打乱的链表。</param>
        public void Shuffle<T>(LinkedList<T> a)
        {
            int blockLen = 1;
            Random random = new Random();
            while (blockLen <= a.Size())
            {
                // 找到第一个块
                Node<T> lo = a.GetFirst();
                Node<T> mid = FindBlock(lo, blockLen);

                if (mid.next == null)
                    break;

                while (mid.next != null)
                {
                    Node<T> hi = FindBlock(mid.next, blockLen);
                    Node<T>[] result;
                    if (lo == a.GetFirst())
                    {
                        result = Merge(lo, mid, hi, random);
                        a.SetFirst(result[0]);
                    }
                    else
                    {
                        result = Merge(lo.next, mid, hi, random);
                        lo.next = result[0];
                    }


                    // 跳到表尾
                    lo = result[1];

                    if (lo.next != null)
                        mid = FindBlock(lo.next, blockLen);
                    else
                        mid = lo;
                }
                blockLen *= 2;
            }
        }

        /// <summary>
        /// 将两个有序链表块随机归并,返回新的表头。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">第一个块起点。</param>
        /// <param name="mid">第一个块终点(第二个块起点的前驱)。</param>
        /// <param name="hi">第二个块的终点。</param>
        /// <returns>新的表头。</returns>
        private Node<T>[] Merge<T>(Node<T> lo, Node<T> mid, Node<T> hi, Random random)
        {
            Node<T> after = hi.next; // 要合并的两个块之后的元素
            Node<T> first = null;
            Node<T>[] result = new Node<T>[2];
            Node<T> i = lo;          // 链表1
            Node<T> j = mid.next;    // 链表2

            // 切割链表
            mid.next = null;
            hi.next = null;

            Node<T> current = null;
            // 决定新的表头
            if (random.NextDouble() >= 0.5)
            {
                current = i;
                i = i.next;
            }
            else
            {
                current = j;
                j = j.next;
            }

            first = current;

            // 归并表
            while (i != null && j != null)
            {
                if (random.NextDouble() >= 0.5)
                {
                    current.next = i;
                    i = i.next;
                    current = current.next;
                }
                else
                {
                    current.next = j;
                    j = j.next;
                    current = current.next;
                }
            }

            if (i == null)
                current.next = j;
            else
                current.next = i;

            // 连接表尾(链表 1 的尾部或者链表 2 的尾部)
            if (mid.next == null)
            {
                mid.next = after;
                result[1] = mid;
            }
            else
            {
                hi.next = after;
                result[1] = hi;
            }
            result[0] = first;

            return result;
        }

        /// <summary>
        /// 获取从指定位置开始定长的链表。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">链表的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="lo">链表的起始结点。</param>
        /// <param name="length">需要获取的链表长度。</param>
        /// <returns>结果链表的最后一个元素结点。</returns>
        private Node<T> FindBlock<T>(Node<T> lo, int length)
        {
            Node<T> hi = lo;
            for (int i = 0; i < length - 1 && hi.next != null; i  )
            {
                hi = hi.next;
            }

            return hi;
        }
    }
}

 

2.2.19

题目

倒置。
编写二个线性对数等级的算法总结给定数组中“倒置”数量
(即插入排序所需的沟通次数,请见 二.一 节)。
本条数据和 Kendall tau 距离有关,请见 2.五 节。

解答

法定达成:

事实上假使在归并排序的时候计算 Less(aux[j], aux[i]) 知足的次数就可以,那个次数就是我们要的值。

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._19
{
    /// <summary>
    /// 归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSort : BaseSort
    {
        public int Counter = 0;

        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSort() { }

        /// <summary>
        /// 利用归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];
            Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)
                return;
            int mid = lo   (hi - lo) / 2;
            Sort(a, aux, lo, mid);
            Sort(a, aux, mid   1, hi);
            Merge(a, aux, lo, mid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = a[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    a[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(aux[j], aux[i]))
                {
                    a[k] = aux[j];
                    this.Counter  = mid - i   1;    // 统计逆序对数
                    j  ;
                }
                else
                {
                    a[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }
    }
}

 

2.2.20

题目

直接排序。
编纂叁个不改换数组的统一排序,
它回到多少个 int[] 数组 perm,其中 perm[i] 的值是原数组中第 i 小的因素的职位。

解答

官方实现:

把 Sort 方法中传来的 a 数组换来1个 index 数组,将 Merge 方法中的判别改为 Less(a[aux[j]], a[aux[i]]) 即可。

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._20
{
    /// <summary>
    /// 归并排序类。
    /// </summary>
    public class MergeSort : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSort() { }

        /// <summary>
        /// 利用归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public int[] IndexSort<T>(T[] a) where T : IComparable<T>
        {
            int[] aux = new int[a.Length];
            int[] index = new int[a.Length];
            for (int i = 0; i < a.Length; i  )
            {
                index[i] = i;
            }
            Sort(a, index, aux, 0, a.Length - 1);
            return index;
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, int[] index, int[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)
                return;
            int mid = lo   (hi - lo) / 2;
            Sort(a, index, aux, lo, mid);
            Sort(a, index, aux, mid   1, hi);
            Merge(a, index, aux, lo, mid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mid">范围中点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, int[] index, int[] aux, int lo, int mid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                aux[k] = index[k];
            }

            int i = lo, j = mid   1;
            for (int k = lo; k <= hi; k  )
            {
                if (i > mid)
                {
                    index[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else if (j > hi)
                {
                    index[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
                else if (Less(a[aux[j]], a[aux[i]]))
                {
                    index[k] = aux[j];
                    j  ;
                }
                else
                {
                    index[k] = aux[i];
                    i  ;
                }
            }
        }

        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            throw new NotImplementedException();
        }
    }
}

 

2.2.21

题目

1式叁份。
加以三个列表,种种列表中富含 N 个名字,
编排四个线性对数级其余算法来判定三分列表中是或不是含有公共的名字,
要是有,重临第1个被找到的这种名字。

解答

对3份列表实行归并排序(O(nlogn)),随后遍历三回在这之中的一份表,
用二分查找检查在其余多少个表中是还是不是留存一样的全名(O(nlogn))

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._21
{
    /*
     * 2.2.21
     * 
     * 一式三份。
     * 给定三个列表,
     * 每个列表中包含 N 个名字,
     * 编写一个线性对数级别的算法来判定三份列表中是否含有公共的名字,
     * 如果有,返回第一个被找到的这种名字。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            string[] name1 = new string[] { "Noah", "Liam", "Jacob", "Mason" };
            string[] name2 = new string[] { "Sophia", "Emma", "Mason", "Ava" };
            string[] name3 = new string[] { "Mason", "Marcus", "Alexander", "Ava" };

            MergeSort mergeSort = new MergeSort();
            mergeSort.Sort(name1);
            mergeSort.Sort(name2);
            mergeSort.Sort(name3);

            for (int i = 0; i < name1.Length; i  )
            {
                if (BinarySearch(name1[i], name2, 0, name1.Length) != -1 &&
                    BinarySearch(name1[i], name3, 0, name1.Length) != -1)
                {
                    Console.WriteLine(name1[i]);
                    break;
                }

            }
        }

        /// <summary>
        /// 二分查找,返回目标元素的下标,没有结果则返回 -1。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">查找的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="key">要查找的目标值。</param>
        /// <param name="array">用于查找的目标范围。</param>
        /// <param name="lo">查找的起始下标。</param>
        /// <param name="hi">查找的终止下标。</param>
        /// <returns>找到则返回元素下标,否则返回 -1。</returns>
        static int BinarySearch<T>(T key, T[] array, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            while (lo <= hi)
            {
                int mid = lo   (hi - lo) / 2;
                if (array[mid].Equals(key))
                    return mid;
                else if (array[mid].CompareTo(key) < 0)
                    lo = mid   1;
                else
                    hi = mid - 1;
            }
            return -1;
        }
    }
}

 

2.2.22

题目

三向归并排序。
假诺每一回大家是把数组分成七个部分而不是五个部分并将它们分别排序。
接下来实行3向归并。
这种算法的运行时刻的坚实数据级是稍稍。

解答

澳门新萄京官方网站 59
巩固数据级为O(nlogn)。

代码
using System;
using System.Diagnostics;

namespace Merge
{
    /// <summary>
    /// 三向归并排序。
    /// </summary>
    public class MergeSortThreeWay : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortThreeWay() { }

        /// <summary>
        /// 利用三项归并排序将数组按升序排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组中的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">待排序的数组。</param>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            T[] aux = new T[a.Length];
            Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
            Debug.Assert(IsSorted(a));
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行三向归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)       // 小于或等于一个元素
                return;
            int lmid = lo   (hi - lo) / 3;
            int rmid = hi - (hi - lo) / 3;
            Sort(a, aux, lo, lmid);
            Sort(a, aux, lmid   1, rmid);
            Sort(a, aux, rmid   1, hi);
            Merge(a, aux, lo, lmid, rmid, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 返回两个元素中较小的那个。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">比较的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">用于比较的元素。</param>
        /// <param name="b">用于比较的元素。</param>
        /// <returns>较小的元素。</returns>
        private T Min<T>(T a, T b) where T : IComparable<T>
        {
            if (Less(a, b))
                return a;
            return b;
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="lmid">范围三分之一点。</param>
        /// <param name="rmid">范围三分之二点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int lmid, int rmid, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            for (int l = lo; l <= hi; l  )
            {
                aux[l] = a[l];
            }

            int i = lo, j = lmid   1, k = rmid   1;
            for (int l = lo; l <= hi; l  )
            {
                int flag = 0;
                if (i > lmid)
                    flag  = 1;
                if (j > rmid)
                    flag  = 10;
                if (k > hi)
                    flag  = 100;
                switch (flag)
                {
                    case 0:         // 三个数组都还没有取完
                        T min = Min(aux[i], Min(aux[j], aux[k]));
                        if (min.Equals(aux[i]))
                            a[l] = aux[i  ];
                        else if (min.Equals(aux[j]))
                            a[l] = aux[j  ];
                        else
                            a[l] = aux[k  ];
                        break;
                    case 1:         // 只有第一个数组取完了
                        if (Less(aux[j], aux[k]))
                            a[l] = aux[j  ];
                        else
                            a[l] = aux[k  ];

                        break;
                    case 10:        // 只有第二个数组取完了
                        if (Less(aux[i], aux[k]))
                            a[l] = aux[i  ];
                        else
                            a[l] = aux[k  ];
                        break;
                    case 100:       // 只有第三个数组取完了
                        if (Less(aux[i], aux[j]))
                            a[l] = aux[i  ];
                        else
                            a[l] = aux[j  ];
                        break;
                    case 11:        // 第一、二个数组取完了
                        a[l] = aux[k  ];
                        break;
                    case 101:       // 第一、三个数组取完了
                        a[l] = aux[j  ];
                        break;
                    case 110:       // 第二、三个数组取完了
                        a[l] = aux[i  ];
                        break;
                }
            }
        }
    }
}

 

2.2.23

题目

改进。
用试验评估正文中所提到的合并排序的3项改正(请见演习 2.二.11)的机能,
并相比较正文中贯彻的联合排序和练习 二.二.十 所落成的联结排序之间的质量。
基于经验给出应该在什么时候为子数组切换来插入排序。

解答

澳门新萄京官方网站 60
阈值合适时,大概会有百分之10的性质提高。
阈值在 拾 以下都以相比较伏贴的。

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._23
{
    /*
     * 2.2.23
     * 
     * 改进。
     * 用实验评估正文中所提到的归并排序的三项改进(请见练习 2.2.11)的效果,
     * 并比较正文中实现的归并排序和练习 2.2.10 所实现的归并排序之间的性能。
     * 根据经验给出应该在何时为子数组切换到插入排序。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            MergeSort mergeSort = new MergeSort();
            MergeSortX mergeSortX = new MergeSortX();
            MergeSortUnstable mergeSortUnstable = new MergeSortUnstable();

            int n = 1000000;
            int cutoff = 2;
            int trialTime = 4;
            Console.WriteLine("归并排序改进前与改进后的比较:");
            Console.WriteLine("数组t耗时1t耗时2t阈值t比率");
            for (int i = 0; i < 20; i  )
            {
                double mergeSortTime = 0;
                double mergeSortXTime = 0;
                mergeSortX.SetCutOff(cutoff);
                for (int j = 0; j < trialTime; j  )
                {
                    int[] a = SortCompare.GetRandomArrayInt(n);
                    int[] b = new int[a.Length];
                    a.CopyTo(b, 0);
                    mergeSortTime  = SortCompare.Time(mergeSort, a);
                    mergeSortXTime  = SortCompare.Time(mergeSortX, b);
                }
                mergeSortTime /= trialTime;
                mergeSortXTime /= trialTime;
                Console.WriteLine(n   "t"   mergeSortTime   "t"   mergeSortXTime   "t"   cutoff   "t"   mergeSortTime / mergeSortXTime);
                cutoff  ;
            }

            n = 100000;
            Console.WriteLine("稳定归并排序与不稳定版本的比较:");
            Console.WriteLine("数组t耗时1t耗时2t比率");
            for (int i = 0; i < 6; i  )
            {
                double mergeSortTime = 0;
                double mergeSortUnstableTime = 0;
                for (int j = 0; j < trialTime; j  )
                {
                    int[] a = SortCompare.GetRandomArrayInt(n);
                    int[] b = new int[a.Length];
                    a.CopyTo(b, 0);
                    mergeSortTime  = SortCompare.Time(mergeSort, a);
                    mergeSortUnstableTime  = SortCompare.Time(mergeSortUnstable, b);
                }
                mergeSortTime /= trialTime;
                mergeSortUnstableTime /= trialTime;
                Console.WriteLine(n   "t"   mergeSortTime   "t"   mergeSortUnstableTime   "t"   mergeSortTime / mergeSortUnstableTime);
                n *= 2;
            }
        }
    }
}

 

2.2.24

题目

校正的平稳测试。
在实验中用巨型随机数组评估练习 二.二.捌 所做的修改的功用。
依靠经验用 N(被排序的原始数组的轻重缓急)的函数描述条件语句(a[mid] <= a[mid 1])创设(无论数组是还是不是有序)的次数。

解答

澳门新萄京官方网站 61
约为 lgN 次

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._24
{
    /*
     * 2.2.24
     * 
     * 改进的有序测试。
     * 在实验中用大型随机数组评估练习 2.2.8 所做的修改的效果。
     * 根据经验用 N(被排序的原始数组的大小)的函数描述条件语句
     * (a[mid] <= a[mid   1])成立(无论数组是否有序)的次数。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            MergeSortX mergeSortX = new MergeSortX();
            int n = 10000;
            int trialTimes = 10;
            Console.WriteLine("数组t平均命中次数");
            for (int i = 0; i < 4; i  )
            {
                int avgHit = 0;
                for (int j = 0; j < trialTimes; j  )
                {
                    mergeSortX.ResetHitTime();
                    int[] a = SortCompare.GetRandomArrayInt(n);
                    mergeSortX.Sort(a);
                    avgHit  = mergeSortX.GetHitTime();
                }

                Console.WriteLine(n   "t"   avgHit / trialTimes);
                n *= 10;
            }
        }
    }
}

 

2.2.25

题目

多向归并排序。
金镶玉裹福禄双全二个 k 向(相对双向来讲)归并排序程序。
深入分析你的算法,估算最好的 k 值并经超过实际验证实估量。

解答

实际 k 的取值非亲非故重要,实验也验证了这点。
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算法大概能够分为以下多少个步骤
率先将数组划为 k 份,用三个数组 mids 记录那 k 个子数组的细分地点
继之递归的调用 Sort 方法,将那 k 个子数组排序
进而将那 k 个子数组归并,
历次归并时遍历取 k 个子数组中值最小的二个,然后对应子数组的提醒器 一
上边这一步是 O(k) 的,能够用堆可能败者树优化为对数等第

代码
using System;
using System.Diagnostics;

namespace Merge
{
    /// <summary>
    /// k 路归并排序。
    /// </summary>
    public class MergeSortKWay : BaseSort
    {
        /// <summary>
        /// 同时归并的数组数目。
        /// </summary>
        public int K { get; set; }

        /// <summary>
        /// 默认构造函数。
        /// </summary>
        public MergeSortKWay() { this.K = 2; }

        /// <summary>
        /// 用 k 向归并排序对数组 a 进行排序。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T"></typeparam>
        /// <param name="a"></param>
        /// <exception cref="ArgumentOutOfRangeException">数组长度小于 K 值时抛出异常。</exception>
        public override void Sort<T>(T[] a)
        {
            if (this.K > a.Length)
                throw new ArgumentOutOfRangeException("数组长度不能小于 K 值!");

            T[] aux = new T[a.Length];
            Sort(a, aux, 0, a.Length - 1);
            Debug.Assert(IsSorted(a));
        }

        /// <summary>
        /// 自顶向下地对数组指定范围内进行 k 向归并排序,需要辅助数组。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">需要排序的元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">排序范围起点。</param>
        /// <param name="hi">排序范围终点。</param>
        private void Sort<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            if (hi <= lo)       // 小于或等于一个元素
                return;
            int[] mids = new int[this.K - 1];
            int steps = (hi - lo) / this.K;
            mids[0] = lo   steps;
            for (int i = 1; i < this.K - 1; i  )
            {
                mids[i] = mids[i - 1]   steps;
                if (mids[i] > hi)               // 防止溢出
                    mids[i] = hi;
            }

            Sort(a, aux, lo, mids[0]);
            for (int i = 1; i < this.K - 1; i  )
            {
                Sort(a, aux, mids[i - 1]   1, mids[i]);
            }
            Sort(a, aux, mids[this.K - 2]   1, hi);
            Merge(a, aux, lo, mids, hi);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定范围内的元素归并。
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">数组元素类型。</typeparam>
        /// <param name="a">原数组。</param>
        /// <param name="aux">辅助数组。</param>
        /// <param name="lo">范围起点。</param>
        /// <param name="mids">范围中间点。</param>
        /// <param name="hi">范围终点。</param>
        private void Merge<T>(T[] a, T[] aux, int lo, int[] mids, int hi) where T : IComparable<T>
        {
            for (int l = lo; l <= hi; l  )
            {
                aux[l] = a[l];
            }

            int[] pointers = new int[this.K]; // 标记每个数组的当前归并位置
            pointers[0] = lo;                 // 开始时归并位置处于每个子数组的起始
            for (int i = 1; i < this.K; i  )
            {
                pointers[i] = mids[i - 1]   1;
            }
            // 开始归并
            for (int i = lo; i <= hi; i  )
            {
                // 找到最小值
                T min;
                int minPointerIndex = 0;
                bool isInit = true;
                if (pointers[this.K - 1] > hi)
                {
                    min = default(T);                 // 初始化以避免编译错误
                }
                else
                {
                    min = aux[pointers[this.K - 1]];
                    minPointerIndex = this.K - 1;
                    isInit = false;
                }

                for (int j = 0; j < this.K - 1; j  )
                {
                    if (pointers[j] > mids[j])      // 当前数组已经用完
                        continue;
                    if (isInit)                     // 第一次赋值
                    {
                        isInit = false;
                        min = aux[pointers[j]];
                        minPointerIndex = j;
                        continue;
                    }
                    if (Less(aux[pointers[j]], min))
                    {
                        min = aux[pointers[j]];
                        minPointerIndex = j;
                    }
                }

                // 将最小值赋给归并数组,对应子数组的归并位置 1
                a[i] = min;
                pointers[minPointerIndex]  ;
            }
        }
    }
}

 

2.2.26

题目

创办数组。使用 SortCompare 粗略相比较在您的管理器上在 merge() 卯月在 sort() 中开创 aux[] 的性格差距。

解答

出入照旧相比较显然的,由于 Merge 会调用多次,而用于运转递归的 Sort 方法只会调用三遍。

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代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._26
{
    /*
     * 2.2.26
     * 
     * 创建数组。
     * 使用 SortCompare 粗略比较在你的计算机上
     * 在 merge() 中和在 sort() 中创建 aux[] 的性能差异。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            AuxInSortMergeSort auxInSort = new AuxInSortMergeSort();
            AuxInMergeMergeSort auxInMerge = new AuxInMergeMergeSort();
            int[] data1 = SortCompare.GetRandomArrayInt(100000);
            int[] data2 = new int[data1.Length];
            data1.CopyTo(data2, 0);
            Console.WriteLine("在Sort中创建aux[]t"   SortCompare.Time(auxInSort, data1)   "ms");
            Console.WriteLine("在Merge中创建aux[]t"   SortCompare.Time(auxInMerge, data2)   "ms");

        }
    }
}

 

2.2.27

题目

子数首席实践官度。
用归并将大型随机数组排序,
依靠经验用 N (某次归并时多少个子数组的尺寸之和)的函数揣测当3个子数组用尽时另1个子数组的平分长度。

解答

恐怕上会是3个对数函数,用 Excel 做了简易的拟合。
澳门新萄京官方网站 64

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._27
{
    /*
     * 2.2.27
     * 
     * 子数组长度。
     * 用归并将大型随机数组排序,
     * 根据经验用 N (某次归并时两个子数组的长度之和)
     * 的函数估计当一个子数组用尽时另一个子数组的平均长度。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int arraySize = 1000000;
            NotifiedMergeSort sort = new NotifiedMergeSort(arraySize);
            for (int i = 0; i < 100; i  )
            {
                int[] data = SortCompare.GetRandomArrayInt(arraySize);
                sort.Sort(data);
            }

            Console.WriteLine("ntrestttimes");
            for (int i = 0; i < sort.NArraySize.Length; i  )
            {
                if (sort.NArraySize[i] != 0)
                    Console.WriteLine(i   "t"   sort.NArraySize[i] / sort.NArraySizeTime[i]   "t"   sort.NArraySizeTime[i]);
            }
            // 大致上是一个对数函数
        }
    }
}

 

2.2.28

题目

自顶向下和自底向上。
对于 N=10^3、10^4、10^5 和 10^6,
接纳 SortCompare 相比自顶向下和自底向上的集合排序的品质。

解答

自底向上会快一些,省去了递归进度中等高校函授数重复调用的年月。
澳门新萄京官方网站 65

代码
using System;
using Merge;

namespace _2._2._28
{
    /*
     * 2.2.28
     * 
     * 自顶向下和自底向上。
     * 对于 N=10^3、10^4、10^5 和 10^6,
     * 使用 SortCompare 比较自顶向下和自底向上的归并排序的性能。
     * 
     */
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int n = 1000;
            MergeSort topBottomMergeSort = new MergeSort();
            MergeSortBU bottomUpMergeSort = new MergeSortBU();
            int trialTimes = 100;
            for (int i = 0; i < 4; i  )
            {
                Console.Write("数组大小:"   n   "t");
                int time1 = 0, time2 = 0;
                for (int j = 0; j < trialTimes; j  )
                {
                    double[] data1 = SortCompare.GetRandomArrayDouble(n);
                    double[] data2 = new double[n];
                    data1.CopyTo(data2, 0);
                    time1  = (int)SortCompare.Time(topBottomMergeSort, data1);
                    time2  = (int)SortCompare.Time(bottomUpMergeSort, data2);
                }

                Console.WriteLine("自顶向下:"   time1 / trialTimes   "mst自底向上:"   time2 / trialTimes   "ms");
                n *= 10;
            }
        }
    }
}

 

2.2.29

题目

不容置疑的会合排序。对于 N=十^3、十^陆 和 拾^九,类型为 Long 的随便主键数组,依照经验给出自然的合并排序(请见练习二.二.1陆)所急需的遍数。
提拔:没有须求达成那些排序(乃至无需转移全部完整的 611人主键)也能做到那道演练。

解答

全盘有序时只必要二次归并(直接出口),
逆序时须求 n - 一 次归并(退化为插入排序),
平均必要 n/二 次归并。
为此个别须要 500,五千00,500000000 次归并。

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